设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度函数为: f(x,y)= } 2e^-x-y, & x > 0, y > 0; 0, & 其他.

本题考查二维随机变量的概率计算，解题思路是根据二维随机变量的联合概率密度函数，通过二重积分来计算指定区域的概率。

已知二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-x-y}, & x \gt 0, y \gt 0; \\ 0, & 其他. \end{cases}$，要求$P(X\lt 1,Y\lt 1)$，根据二维随机变量概率的计算公式$P(X\lt 1,Y\lt 1)=\int_{-\infty}^{1}\int_{-\infty}^{1}f(x,y)dxdy$。
由于$f(x,y)$在$x\leqslant0$或$y\leqslant0$时为$0$，所以积分区域实际为$0\lt x\lt 1$，$0\lt y\lt 1$，则：
$\begin{align*} P(X\lt 1,Y\lt 1)&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2e^{-x-y}dxdy\\ &=2\int_{0}^{1}e^{-y}dy\int_{0}^{1}e^{-x}dx \end{align*}$
先计算$\int_{0}^{1}e^{-x}dx$：
令$u = -x$，则$du = -dx$，当$x = 0$时，$u = 0$；当$x = 1$时，$u = -1$。
$\int_{0}^{1}e^{-x}dx=-\int_{0}^{-1}e^{u}du=\int_{-1}^{0}e^{u}du=e^{u}\big|_{-1}^{0}=e^{0}-e^{-1}=1 - e^{-1}$
同理可得$\int_{0}^{1}e^{-y}dy = 1 - e^{-1}$。
所以$P(X\lt 1,Y\lt 1)=2\times(1 - e^{-1})\times(1 - e^{-1}) = 2(1 - e^{-1})^2$。