设随机变量 X与Y 的联合分布律为YX-101-1alpha dfrac(1)(8)dfrac(1)(4)1dfrac(1)(8)dfrac(1)(8)beta (1)试证，E(XY)=0；(2)试问，当alpha 、beta 取何值时，X与Y不相关？(3)当X与Y不相关时，X与Y相互独立吗？

步骤 1：计算联合分布律中的未知参数
由联合分布律的性质可知，所有概率之和为1，即
$$
1 = \alpha + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \beta
$$
化简得
$$
\alpha + \beta = \frac{3}{8}
$$
步骤 2：计算 $E(XY)$
根据随机变量函数的期望公式，有
$$
E(XY) = \sum_{i,j} x_i y_j p_{ij}
$$
代入已知的联合分布律，得
$$
E(XY) = \alpha + \beta - \frac{3}{8}
$$
步骤 3：计算 $E(X)$ 和 $E(Y)$
根据期望的定义，有
$$
E(X) = -1 \cdot (\alpha + \frac{3}{8}) + 1 \cdot (\frac{1}{4} + \beta)
$$
$$
E(Y) = -1 \cdot (\alpha + \frac{1}{8}) + 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot (\frac{1}{4} + \beta)
$$
步骤 4：计算 $\text{Cov}(X,Y)$
根据协方差的定义，有
$$
\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
$$
代入已知的期望值，得
$$
\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{64} - (\beta - \alpha)^2
$$
步骤 5：确定 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值
当 $\text{Cov}(X,Y) = 0$ 时，X与Y不相关，即
$$
\frac{1}{64} - (\beta - \alpha)^2 = 0
$$
解得
$$
\beta - \alpha = \pm \frac{1}{8}
$$
结合 $\alpha + \beta = \frac{3}{8}$，解方程组得
$$
\alpha = \frac{1}{8}, \beta = \frac{1}{4}
$$
或
$$
\alpha = \frac{1}{4}, \beta = \frac{1}{8}
$$
步骤 6：判断X与Y是否独立
当 $\alpha = \frac{1}{8}, \beta = \frac{1}{4}$ 时，X与Y的联合分布律为
$$
\begin{array}{c|ccc}
Y/X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
-1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\
1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\
\end{array}
$$
显然，对所有 $i,j$，都有 $P_{ij} = P_i \cdot P_j$，此时X与Y相互独立。
当 $\alpha = \frac{1}{4}, \beta = \frac{1}{8}$ 时，X与Y的联合分布律为
$$
\begin{array}{c|ccc}
Y/X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
-1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\
1 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\
\end{array}
$$
显然，$P(X=-1,Y=-1) = \frac{1}{4} \neq P(X=-1)P(Y=-1) = \frac{15}{64}$，此时X与Y不相互独立。