设总体 X sim N(mu, sigma^2), X_1, X_2, ldots, X_n 是总体 X 的样本, overline(X) 为样本均值,记S_1^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2, S_2^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2,S_3^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2, S_4^2 = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2,则下列随机变量中服从自由度为 n-1 的 t 分布的是().A. (overline(X) - mu)/(S_1 / sqrt(n-1))B. (overline(X) - mu)/(S_2 / sqrt(n-1))C. (overline(X) - mu)/(S_3 / sqrt(n-1))D. (overline(X) - mu)/(S_4 / sqrt(n-1))
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是总体 $X$ 的样本, $\overline{X}$ 为样本均值,记
$S_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$, $S_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$,
$S_3^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$, $S_4^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$,
则下列随机变量中服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布的是().
A. $\frac{\overline{X} - \mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$
B. $\frac{\overline{X} - \mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$
C. $\frac{\overline{X} - \mu}{S_3 / \sqrt{n-1}}$
D. $\frac{\overline{X} - \mu}{S_4 / \sqrt{n-1}}$
题目解答
答案
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，样本均值 $\overline{X}$。
已知：
- $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
- $(n-1)S_1^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，其中 $S_1^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
选项分析：
-
选项 A： $\frac{\overline{X} - \mu}{S_1/\sqrt{n-1}}$
分母 $S_1/\sqrt{n-1}$ 与 $t$ 分布定义不符（应为 $S_1/\sqrt{n}$）。 -
选项 B： $\frac{\overline{X} - \mu}{S_2/\sqrt{n-1}}$
$S_2^2 = \frac{n-1}{n}S_1^2$，则 $S_2 = \sqrt{\frac{n-1}{n}}S_1$，
故 $\frac{\overline{X} - \mu}{S_2/\sqrt{n-1}} = \frac{\overline{X} - \mu}{S_1/\sqrt{n}}$，符合 $t(n-1)$ 分布。 -
选项 C： $\frac{\overline{X} - \mu}{S_3/\sqrt{n-1}}$
$S_3^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$，
$(n-1)S_3^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n)$，自由度为 $n$，不符合。 -
选项 D： $\frac{\overline{X} - \mu}{S_4/\sqrt{n-1}}$
$S_4^2 = \frac{n-1}{n}S_3^2$，
同样自由度为 $n$，不符合。
答案： $\boxed{B}$
解析
本题考查的是正态总体下样本均值与样本方差的性质以及t分布的定义。解题的关键在于熟悉t分布的构造形式，即一个标准正态分布随机变量除以一个独立的卡方分布随机变量除以其自由度后的平方根，然后分析每个选项是否符合这一形式。
选项A分析
已知$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，$\frac{(n - 1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S_1^2$相互独立。
t分布的定义为$T=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{k}}}$，其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim \chi^2(k)$，$U$与$V$相互独立。
对于选项A，$\frac{\overline{X} - \mu}{S_1/\sqrt{n - 1}}$，其分母为$S_1/\sqrt{n - 1}$，而根据t分布的构造，应该是$S_1/\sqrt{n}$，所以该选项不符合t分布的定义。
选项B分析
已知$S_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^2$，$S_1^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^2$，则可得：
$S_2^2=\frac{n - 1}{n}S_1^2$
两边同时开平方可得$S_2 = \sqrt{\frac{n - 1}{n}}S_1$。
将$S_2 = \sqrt{\frac{n - 1}{n}}S_1$代入$\frac{\overline{X} - \mu}{S_2/\sqrt{n - 1}}$可得：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S_2/\sqrt{n - 1}}=\frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\frac{n - 1}{n}}S_1/\sqrt{n - 1}}=\frac{\overline{X} - \mu}{S_1/\sqrt{n}}$
因为$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，$\frac{(n - 1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$，且$\overline{X}$与$S_1^2$相互独立，所以$\frac{\overline{X} - \mu}{S_1/\sqrt{n}}$符合自由度为$n - 1$的t分布的定义。
选项C分析
已知$S_3^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \mu)^2$，则$\frac{(n - 1)S_3^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i = 1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}$。
由于$X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$，那么$\frac{X_i - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，$\sum_{i = 1}^n (\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2\sim \chi^2(n)$，即$\frac{(n - 1)S_3^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$，自由度为$n$，不符合t分布中卡方分布自由度为$n - 1$的要求，所以该选项不符合。
选项D分析
已知$S_4^2 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (X_i - \mu)^2$，$S_3^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \mu)^2$，则可得：
$S_4^2=\frac{n - 1}{n}S_3^2$
因为$\frac{(n - 1)S_3^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$，所以$\frac{(n - 1)S_4^2}{\sigma^2}=\frac{(n - 1)^2}{n}\cdot\frac{S_3^2}{\sigma^2}$，其对应的卡方分布自由度依然为$n$，不符合t分布中卡方分布自由度为$n - 1$的要求，所以该选项不符合。