10. (1.0分)离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=bλ^k,k=1,2,...,其中b>0,0A. λ=b^-1-1B. λ=b^-1+1C. λ=(1-b)^-1D. λ=(1+b)^-1

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的基本性质，即所有可能取值的概率之和为1，以及无穷等比数列求和公式的应用。

解题核心思路：

1. 概率和为1：根据离散型随机变量的性质，所有概率之和必须等于1。
2. 等比数列求和：题目中的概率表达式构成首项为$b\lambda$、公比为$\lambda$的无穷等比数列，利用求和公式计算总和。
3. 解方程：将求和结果等于1，解关于$\lambda$的方程，得到$\lambda$与$b$的关系。

破题关键点：

• 正确识别首项：注意级数从$k=1$开始，首项为$b\lambda$而非$b$。
• 公比条件：题目中$0<\lambda<1$，满足等比数列收敛条件。

根据离散型随机变量的概率和为1的性质，有：
$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} b \lambda^k = 1$

步骤1：应用无穷等比数列求和公式
首项为$b\lambda$，公比为$\lambda$，因此总和为：
$\frac{b\lambda}{1-\lambda} = 1$

步骤2：解方程求$\lambda$
将方程两边同乘$(1-\lambda)$，得：
$b\lambda = 1 - \lambda$
整理得：
$\lambda(b + 1) = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{b+1} = (1+b)^{-1}$

选项分析：

• 选项D $\lambda=(1+b)^{-1}$与推导结果一致，正确。
• 其余选项均不符合方程解或与$\lambda$的取值范围矛盾。