下列命题中，正确的是（）A. 设x，y为实数，则|cos(x+iy)|leq1B. 若z₀是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z₀不可导C. 若u，v在区域D内一阶偏导数存在且满足柯西-黎曼方程，则f(z)=u+iv在D内可导D. 若f(z)在区域D内解析，则f(z²)在D内也解析

本题主要考查复变函数的相关性质，包括复数的三角函数性质、奇点与可导性的关系、柯西 - 黎曼方程以及复合函数的解析性。下面对每个选项逐一进行分析：

• 选项A：
  • 首先，根据三角函数的和角公式$\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，对于$\cos(x + iy)$，有$\cos(x + iy)=\cos x\cos(iy)-\sin x\sin(iy)$。
  • 由双曲函数的定义$\cos(iy)=\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$，$\sin(iy)=i\sinh y = i\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$，则$\cos(x + iy)=\cos x\cosh y - i\sin x\sinh y$。
  • 然后求$\vert\cos(x + iy)\vert$，根据复数的模的计算公式$\vert a+bi\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，可得$\vert\cos(x + iy)\vert=\sqrt{\cos^{2}x\cosh^{2}y+\sin^{2}x\sinh^{2}y}$。
  • 因为$\cosh^{2}y = 1+\sinh^{2}y$，所以$\vert\cos(x + iy)\vert=\sqrt{\cos^{2}x(1 + \sinh^{2}y)+\sin^{2}x\sinh^{2}y}=\sqrt{\cos^{2}x+\sinh^{2}y(\cos^{2}x+\sin^{2}x)}$。
  • 又因为$\cos^{2}x+\sin^{2}x = 1$，所以$\vert\cos(x + iy)\vert=\sqrt{\cos^{2}x+\sinh^{2}y}$。
  • 当$y\neq0$时，$\sinh y\neq0$，$\vert\cos(x + iy)\vert=\sqrt{\cos^{2}x+\sinh^{2}y}\gt1$，所以选项A错误。
• 选项B：
  • 奇点分为可去奇点、极点和本性奇点。对于可去奇点，函数在该点的极限存在，通过补充定义可以使函数在该点连续且可导。
  • 例如$f(z)=\frac{\sin z}{z}$，$z = 0$是它的可去奇点，$\lim\limits_{z\rightarrow0}\frac{\sin z}{z}=1$，补充定义$f(0)=1$后，$f(z)$在$z = 0$处可导，所以选项B错误。
• 选项C：
  • 若$u$，$v$在区域$D$内一阶偏导数存在且满足柯西 - 黎曼方程$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，还需要$u$，$v$的一阶偏导数在$D$内连续，才能保证$f(z)=u + iv$在$D$内可导，所以选项C错误。
• 选项D：
  • 已知$f(z)$在区域$D$内解析，设$w = z^{2}$，$z\in D$。
  • 对于函数$w = z^{2}$，它在整个复平面上是解析的，其导数$w^\prime=(z^{2})^\prime = 2z$。
  • 根据复合函数的求导法则，若$f(w)$在$w$的取值范围解析，$w = z^{2}$在$z$的取值范围解析，则复合函数$F(z)=f(z^{2})$在$z$的取值范围解析。
  • 因为$z\in D$时，$w = z^{2}$的值域在$f(z)$的解析区域内，所以$f(z^{2})$在$D$内解析，选项D正确。