题目
设总体服从指数分布 f(x)= ) lambda (e)^-lambda x,xgt 0 0, .的极大似然估计.
设总体服从指数分布 
,
是来自的样本,(1)求未知参数
的矩估计;(2)求的极大似然估计.
题目解答
答案
解:(1)由于
,令
,故
的矩估计为
(2)似然函数
故的极大似然估计仍为
。
解析
步骤 1：求未知参数的矩估计
由于总体服从指数分布，其期望值为$E(X)=\dfrac {1}{\lambda }$。根据矩估计法，我们令总体的期望值等于样本均值，即$\dfrac {1}{\lambda }=\overline {X}$，从而得到未知参数$\lambda$的矩估计。
步骤 2：求未知参数的极大似然估计
首先，写出似然函数$L({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})={\lambda }^{n}{e}^{-\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}$。然后，对似然函数取对数得到$\ln L=n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}$。接着，对$\ln L$关于$\lambda$求导，并令导数等于0，得到$\dfrac {d\ln L}{d\lambda }=\dfrac {n}{\lambda }-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}=0$。解这个方程，得到未知参数$\lambda$的极大似然估计。
由于总体服从指数分布，其期望值为$E(X)=\dfrac {1}{\lambda }$。根据矩估计法，我们令总体的期望值等于样本均值，即$\dfrac {1}{\lambda }=\overline {X}$，从而得到未知参数$\lambda$的矩估计。
步骤 2：求未知参数的极大似然估计
首先，写出似然函数$L({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n})={\lambda }^{n}{e}^{-\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}}$。然后，对似然函数取对数得到$\ln L=n\ln \lambda -\lambda \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}$。接着，对$\ln L$关于$\lambda$求导，并令导数等于0，得到$\dfrac {d\ln L}{d\lambda }=\dfrac {n}{\lambda }-\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}=0$。解这个方程，得到未知参数$\lambda$的极大似然估计。