题目
设总体Xsim N(mu,sigma^2)，且sigma^2=1，从中抽取容量为100的样本，计算得样本均值overline(x)=5，则总体均值mu的置信水平为0.95的置信区间的下限为____；上限为_____(保留至小数点后3位)。第1空：4.804第2空：5.196
设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且$\sigma^{2}=1$，从中抽取容量为100的样本，计算得样本均值$\overline{x}=5$，则总体均值$\mu$的置信水平为0.95的置信区间的下限为____；上限为_____(保留至小数点后3位)。
第1空：4.804
第2空：5.196
题目解答
答案
为了求出总体均值 $\mu$ 的置信水平为0.95的置信区间，我们使用以下公式：
\[
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中，$\overline{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
已知：
- $\overline{x} = 5$
- $\sigma^2 = 1$，所以 $\sigma = \sqrt{1} = 1$
- $n = 100$
- 置信水平为0.95，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$
我们需要找到 $z_{0.025}$。根据标准正态分布表， $z_{0.025} = 1.96$。
现在，我们可以计算置信区间的上下限：
\[
\text{下限} = \overline{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 - 1.96 \frac{1}{\sqrt{100}} = 5 - 1.96 \times 0.1 = 5 - 0.196 = 4.804
\]
\[
\text{上限} = \overline{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 5 + 1.96 \frac{1}{\sqrt{100}} = 5 + 1.96 \times 0.1 = 5 + 0.196 = 5.196
\]
因此，总体均值 $\mu$ 的置信水平为0.95的置信区间的下限为 $\boxed{4.804}$；上限为 $\boxed{5.196}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间计算，涉及Z分布的应用和标准误差的计算。
解题核心思路：
- 确定使用Z分布：由于总体方差已知且总体服从正态分布，直接使用Z区间公式。
- 计算标准误差：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\sigma=1$，$n=100$。
- 查找Z临界值：根据置信水平95%，确定$z_{\alpha/2}=1.96$。
- 代入公式计算上下限：$\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
破题关键点：
- 正确识别统计量类型（Z分布）和临界值。
- 准确计算标准误差和四舍五入保留三位小数。
步骤1：确定已知条件
- 样本均值$\overline{x}=5$
- 总体方差$\sigma^2=1$，故总体标准差$\sigma=1$
- 样本容量$n=100$
- 置信水平$1-\alpha=0.95$，对应$\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$
步骤2：查找Z临界值
查标准正态分布表，$z_{0.025}=1.96$。
步骤3：计算标准误差
$\text{标准误差} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1$
步骤4：计算置信区间
- 下限：
$\overline{x} - z_{\alpha/2} \cdot \text{标准误差} = 5 - 1.96 \times 0.1 = 5 - 0.196 = 4.804$ - 上限：
$\overline{x} + z_{\alpha/2} \cdot \text{标准误差} = 5 + 1.96 \times 0.1 = 5 + 0.196 = 5.196$