题目
9.(填空题，9.1分)设一条自动生产线的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于95%。问：这批产品至少要生产（）件？(Phi(1.96)=0.975）385
9.(填空题，9.1分)
设一条自动生产线的产品合格率是0.8，要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于95%。问：这批产品至少要生产（）件？($\Phi(1.96)=0.975$）
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题目解答
答案
为了确定这批产品至少要生产多少件，我们需要使用中心极限定理。中心极限定理指出，对于一个大样本，样本比例的分布近似于正态分布。在这个问题中，我们希望样本比例（合格率）在76%到84%之间的概率不小于95%。
设这批产品的数量为 $ n $。产品的合格率是 $ p = 0.8 $，因此不合格率是 $ q = 1 - p = 0.2 $。样本比例 $ \hat{p} $ 的期望值是 $ p = 0.8 $，标准差是 $ \sqrt{\frac{pq}{n}} = \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{n}} = \sqrt{\frac{0.16}{n}} = \frac{0.4}{\sqrt{n}} $。
我们希望 $ \hat{p} $ 在76%到84%之间的概率不小于95%。这可以表示为：
\[ P(0.76 < \hat{p} < 0.84) \geq 0.95. \]
将 $ \hat{p} $ 标准化，我们得到：
\[ P\left( \frac{0.76 - 0.8}{\frac{0.4}{\sqrt{n}}} < Z < \frac{0.84 - 0.8}{\frac{0.4}{\sqrt{n}}} \right) \geq 0.95, \]
其中 $ Z $ 是标准正态随机变量。简化不等式内的表达式，我们得到：
\[ P\left( \frac{-0.04 \sqrt{n}}{0.4} < Z < \frac{0.04 \sqrt{n}}{0.4} \right) \geq 0.95, \]
\[ P\left( -\frac{\sqrt{n}}{10} < Z < \frac{\sqrt{n}}{10} \right) \geq 0.95. \]
由于标准正态分布是对称的，我们有：
\[ 2 \Phi\left( \frac{\sqrt{n}}{10} \right) - 1 \geq 0.95, \]
\[ \Phi\left( \frac{\sqrt{n}}{10} \right) \geq 0.975. \]
从标准正态分布表中，我们知道 $ \Phi(1.96) = 0.975 $。因此：
\[ \frac{\sqrt{n}}{10} \geq 1.96, \]
\[ \sqrt{n} \geq 19.6, \]
\[ n \geq 19.6^2, \]
\[ n \geq 384.16. \]
由于 $ n $ 必须是整数，我们向上取整到下一个整数。因此，这批产品至少要生产 $ 385 $ 件。
答案是：
\[ \boxed{385} \]
解析
步骤 1：确定合格率的期望值和标准差
产品的合格率是 $ p = 0.8 $，不合格率是 $ q = 1 - p = 0.2 $。样本比例 $ \hat{p} $ 的期望值是 $ p = 0.8 $，标准差是 $ \sqrt{\frac{pq}{n}} = \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{n}} = \sqrt{\frac{0.16}{n}} = \frac{0.4}{\sqrt{n}} $。
步骤 2：将样本比例标准化
我们希望 $ \hat{p} $ 在76%到84%之间的概率不小于95%。这可以表示为： \[ P(0.76 < \hat{p} < 0.84) \geq 0.95. \] 将 $ \hat{p} $ 标准化，我们得到： \[ P\left( \frac{0.76 - 0.8}{\frac{0.4}{\sqrt{n}}} < Z < \frac{0.84 - 0.8}{\frac{0.4}{\sqrt{n}}} \right) \geq 0.95, \] 其中 $ Z $ 是标准正态随机变量。简化不等式内的表达式，我们得到： \[ P\left( \frac{-0.04 \sqrt{n}}{0.4} < Z < \frac{0.04 \sqrt{n}}{0.4} \right) \geq 0.95, \] \[ P\left( -\frac{\sqrt{n}}{10} < Z < \frac{\sqrt{n}}{10} \right) \geq 0.95. \]
步骤 3：利用标准正态分布表求解
由于标准正态分布是对称的，我们有： \[ 2 \Phi\left( \frac{\sqrt{n}}{10} \right) - 1 \geq 0.95, \] \[ \Phi\left( \frac{\sqrt{n}}{10} \right) \geq 0.975. \] 从标准正态分布表中，我们知道 $ \Phi(1.96) = 0.975 $。因此： \[ \frac{\sqrt{n}}{10} \geq 1.96, \] \[ \sqrt{n} \geq 19.6, \] \[ n \geq 19.6^2, \] \[ n \geq 384.16. \] 由于 $ n $ 必须是整数，我们向上取整到下一个整数。因此，这批产品至少要生产 $ 385 $ 件。
产品的合格率是 $ p = 0.8 $，不合格率是 $ q = 1 - p = 0.2 $。样本比例 $ \hat{p} $ 的期望值是 $ p = 0.8 $，标准差是 $ \sqrt{\frac{pq}{n}} = \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{n}} = \sqrt{\frac{0.16}{n}} = \frac{0.4}{\sqrt{n}} $。
步骤 2：将样本比例标准化
我们希望 $ \hat{p} $ 在76%到84%之间的概率不小于95%。这可以表示为： \[ P(0.76 < \hat{p} < 0.84) \geq 0.95. \] 将 $ \hat{p} $ 标准化，我们得到： \[ P\left( \frac{0.76 - 0.8}{\frac{0.4}{\sqrt{n}}} < Z < \frac{0.84 - 0.8}{\frac{0.4}{\sqrt{n}}} \right) \geq 0.95, \] 其中 $ Z $ 是标准正态随机变量。简化不等式内的表达式，我们得到： \[ P\left( \frac{-0.04 \sqrt{n}}{0.4} < Z < \frac{0.04 \sqrt{n}}{0.4} \right) \geq 0.95, \] \[ P\left( -\frac{\sqrt{n}}{10} < Z < \frac{\sqrt{n}}{10} \right) \geq 0.95. \]
步骤 3：利用标准正态分布表求解
由于标准正态分布是对称的，我们有： \[ 2 \Phi\left( \frac{\sqrt{n}}{10} \right) - 1 \geq 0.95, \] \[ \Phi\left( \frac{\sqrt{n}}{10} \right) \geq 0.975. \] 从标准正态分布表中，我们知道 $ \Phi(1.96) = 0.975 $。因此： \[ \frac{\sqrt{n}}{10} \geq 1.96, \] \[ \sqrt{n} \geq 19.6, \] \[ n \geq 19.6^2, \] \[ n \geq 384.16. \] 由于 $ n $ 必须是整数，我们向上取整到下一个整数。因此，这批产品至少要生产 $ 385 $ 件。