题目

19. (5.0分) 设随机变量X,Y独立同分布，EX=2，DX=3，则Cov(X,XY)=（） A. 0 B. 6 C. 14 D. 8

19. (5.0分) 设随机变量$X,Y$独立同分布，$EX=2$，$DX=3$，则$Cov(X,XY)=（）$
A. 0
B. 6
C. 14
D. 8

题目解答

答案

由协方差定义得： \[ \text{Cov}(X, XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY) \] 已知 $E(X) = 2$，$D(X) = 3$，则 $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 3 + 4 = 7$。 由于 $X$、$Y$ 独立同分布，有 $E(Y) = 2$，$E(XY) = E(X)E(Y) = 4$， \[ E(X^2Y) = E(X^2)E(Y) = 7 \times 2 = 14 \] 代入协方差公式： \[ \text{Cov}(X, XY) = 14 - 2 \times 4 = 6 \] 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查协方差的计算，以及随机变量独立同分布的性质应用。
解题核心思路：利用协方差的定义展开，结合独立变量的期望性质进行化简。
关键点：

  1. 协方差公式：$\text{Cov}(X, XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY)$；
  2. 独立变量的性质：若$X$与$Y$独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$，且$X^2$与$Y$也独立；
  3. 方差与期望的关系：通过$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$求出$E(X^2)$。

步骤1：计算$E(X^2)$

已知$D(X) = 3$，$E(X) = 2$，根据方差公式：
$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 3 + 2^2 = 7.$

步骤2：计算$E(XY)$

由于$X$与$Y$独立，且$E(Y) = E(X) = 2$，因此：
$E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times 2 = 4.$

步骤3：计算$E(X^2Y)$

$X^2$与$Y$独立（独立变量的函数仍独立），故：
$E(X^2Y) = E(X^2)E(Y) = 7 \times 2 = 14.$

步骤4：代入协方差公式

$\text{Cov}(X, XY) = E(X^2Y) - E(X)E(XY) = 14 - 2 \times 4 = 6.$