4.50 设随机变量X与Y独立同正态分布N(0,0.5),求 |x-y| 的数学期望和-|||-方差.

本题考查正态分布的性质、随机变量变量的数学期望和方差的计算。解题思路如下：

1. 首先根据已知条件确定$X -Y$的分布，进而得到$X - Y$的分布。
2. 然后通过变量代换，将求$\(\vert X - Y\vert$的数学期望和方差转化为关于新变量的积分计算。
3. 最后根据数学期望和方差的计算公式分别计算$\vert X - Y\vert$的数学期望和方差。

步骤一：确定$X -Y$和$X - Y$的分布

已知随机变量$X$与$Y$独立同正态分布$N(0,0.5)$，根据正态分布的性质：若$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\_2^2)$，且$X$与$Y$相互独立，则$aX + bY\sim N(a\mu_1 + b\mu_2,a^2_1^2 + b^2_2^2)$。
对于$-Y$，$a = 0$，$b=-1$，可得$-Y\sim N(0,0.5)$。
对于$X - Y$，$a = 1$，$b = -1$，可得$X - Y\sim N(0,0.5 + 0.5)=N(0,1)$。

步骤二：求$\vert X - Y\vert\vert X - Y\vert$的数学期望$E(\vert X - Y\vert)$

设$Z = X - Y$，则$Z\sim N(0,1)$，其概率密度函数为$\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$。
根据数学期望的定义$E(\vert X - Y\vert)=E(\vert Z\vert)=\int_{-\infty}^{+\infty}\vert z\vert\varphi(z)dz$。
因为$=\int_{-\infty}^{0}(-z)\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz}+\int_{0}^{+\infty}z\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$
由于被积函数$z\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$是偶函数，所以$\int_{-\infty}^{0}(-z)\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz=\int_{0}^{+\infty}z\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$，所以$E(\vert Z\vert)=2\int_{0}^{+\infty}z\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$。
令$t=\frac{z^2}{2}$，则$dt = zdz$，当$z = 0$时，$t = 0$；当$z\to+\infty$时，$t\toinfty$。
$E(\vert Z\vert)=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1sqrt{2\pi}}e^{-t}dt=\frac{2sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}e^{-t$。
根据指数函数的积分公式$\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt = 1$，可得$E(\vert Z\vert)=\frac{2sqrt{2\pi}}\times1=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$。

步骤三：求$\vert X - Y\vert$的方差$D(\vert X - Y\vert)$

根据方差的方差公式$D(\vert X - Y\vert)=D(\vert Z\vert)=E(\vert Z\vert^2)-[E(\vert Z\vert)]^2$。
因为$\vert Z\vert^2 = Z^2$，所以$E(\vert Z\vert)^2 = E(Z^2)$。
又因为$Z\sim N(0,1)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的二阶原点矩$E(Z^2)=D(Z)+[E(Z)]^2$，这里$\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$，则$E(Z^2)=1 + 0^2 = 1$。
已知$E(\vert Z\vert)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$}})，所以$D(\vert Z\vert)=1 - (\sqrt{\frac{2}{\pi}})^2=1-\frac{2\pi$。