设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以 h 计）分别为6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布 N(mu, sigma^2). 在下述情况下，求 mu 的置信水平为 0.95 的置信区间.(1) 若由以往经验知 sigma = 0.6 , (h).(2) 若 sigma 为未知.
设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以 h 计）分别为
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设干燥时间总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$. 在下述情况下，求 $\mu$ 的置信水平为 0.95 的置信区间.
(1) 若由以往经验知 $\sigma = 0.6 \, \text{h}$.
(2) 若 $\sigma$ 为未知.
题目解答
答案
(1) 已知 $\sigma = 0.6$
样本均值 $\bar{x} = 6.0$，置信区间公式为 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
$z_{0.025} = 1.96$，代入得：
$6.0 \pm 1.96 \times \frac{0.6}{3} = 6.0 \pm 0.392$
答案： $(5.608, 6.392)$
(2) 未知 $\sigma$
样本标准差 $s \approx 0.5744$，置信区间公式为 $\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$。
$t_{0.025, 8} = 2.306$，代入得：
$6.0 \pm 2.306 \times \frac{0.5744}{3} \approx 6.0 \pm 0.4416$
答案： $(5.5584, 6.4416)$（或约 $(5.56, 6.44)$）
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } (5.608, 6.392) \\\text{(2) } (5.5584, 6.4416) \text{（或约 } (5.56, 6.44) \text{）}\end{array}}$
解析
本题主要考查正态总体均值 $\mu$ 在不同方差情况下的置信区间的求解。解题的关键在于根据已知条件选择合适的统计量和对应的分布，再利用给定的置信水平确定临界值，最后代入公式计算置信区间。
(1) 已知 $\sigma = 0.6 \, \text{h}$ 的情况
- 计算样本均值 $\bar{x}$：
样本均值的计算公式为 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。
已知样本数据为 $6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0$，样本数量 $n = 9$，则：
$\begin{align*}\bar{x} &= \frac{1}{9} \times (6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0)\\&= \frac{1}{9} \times 54\\&= 6.0\end{align*}$ - 确定置信区间公式：
当总体方差 $\sigma^2$ 已知时，正态总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位点。
本题中置信水平为 $0.95$，则 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$，查标准正态分布表可得 $z_{0.025} = 1.96$。 - 计算置信区间：
将 $\bar{x} = 6.0$，$z_{0.025} = 1.96$，$\sigma = 0.6$，$n = 9$ 代入置信区间公式可得：
$\begin{align*}\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} &= 6.0 \pm 1.96 \times \frac{0.6}{\sqrt{9}}\\&= 6.0 \pm 1.96 \times \frac{0.6}{3}\\&= 6.0 \pm 0.392\end{align*}$
所以，$\mu$ 的置信水平为 $0.95$ 的置信区间为 $(5.608, 6.392)$。
(2) $\sigma$ 为未知的情况
- 计算样本标准差 $s$：
样本标准差的计算公式为 $s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$。
由前面计算可知 $\bar{x} = 6.0$，则：
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{9} (x_i - 6.0)^2 &= (6.0 - 6.0)^2 + (5.7 - 6.0)^2 + (5.8 - 6.0)^2 + (6.5 - 6.0)^2 + (7.0 - 6.0)^2 + (6.3 - 6.0)^2 + (5.6 - 6.0)^2 + (6.1 - 6.0)^2 + (5.0 - 6.0)^2\\&= 0 + 0.09 + 0.04 + 0.25 + 1 + 0.09 + 0.16 + 0.01 + 1\\&= 2.64\end{align*}$
所以样本标准差 $s = \sqrt{\frac{1}{9 - 1} \times 2.64} = \sqrt{0.33} \approx 0.5744$。 - 确定置信区间公式：
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，正态总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n - 1} \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $t_{\alpha/2, n - 1}$ 是自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位点。
本题中 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$，自由度 $n - 1 = 9 - 1 = 8$，查 $t$ 分布表可得 $t_{0.025, 8} = 2.306$。 - 计算置信区间：
将 $\bar{x} = 6.0$，$t_{0.025, 8} = 2.306$，$s \approx 0.5744$，$n = 9$ 代入置信区间公式可得：
$\begin{align*}\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n - 1} \frac{s}{\sqrt{n}} &= 6.0 \pm 2.306 \times \frac{0.5744}{\sqrt{9}}\\&\approx 6.0 \pm 2.306 \times \frac{0.5744}{3}\\&\approx 6.0 \pm 0.4416\end{align*}$
所以，$\mu$ 的置信水平为 $0.95$ 的置信区间为 $(5.5584, 6.4416)$，约为 $(5.56, 6.44)$。