4. 求下列极限:(1) lim_(x to infty)e^(1)/(x);(3) lim_(x to infty)(1+(1)/(x))^(x)/(2);(5) lim_(x to infty)((3+x)/(6+x))^(x-1)/(2);(7) lim_(x to e)(ln x-1)/(x-e);

1. 第（1）题：考查指数函数的极限性质。当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此$e^{\frac{1}{x}}$的极限可直接通过代入计算。
2. 第（3）题：利用自然对数的底$e$的定义。形如$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$，需将题目中的指数调整为标准形式。
3. 第（5）题：需将分式$\frac{3+x}{6+x}$变形为$1+\frac{\text{常数}}{x}$的形式，再结合重要极限公式$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a$。
4. 第（7）题：属于$\frac{0}{0}$型不定式，需用洛必达法则，通过求导化简后求解。

第（1）题

分析指数部分

当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此：
$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1.$

第（3）题

调整指数形式

将原式改写为：
$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^{\frac{1}{2}}.$

应用重要极限

当$x \to \infty$时，$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \to e$，因此：
$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}.$

第（5）题

化简分式

将分式变形为：
$\frac{3+x}{6+x} = 1 - \frac{3}{6+x}.$

取自然对数

令$y = \left(1 - \frac{3}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$，则：
$\ln y = \frac{x-1}{2} \cdot \ln\left(1 - \frac{3}{6+x}\right).$

展开对数项

当$x \to \infty$时，$\frac{3}{6+x} \approx \frac{3}{x}$，因此：
$\ln y \approx \frac{x}{2} \cdot \left(-\frac{3}{x}\right) = -\frac{3}{2}.$

还原指数形式

因此：
$\lim_{x \to \infty} y = e^{-\frac{3}{2}}.$

第（7）题

应用洛必达法则

分子$\ln x - 1$和分母$x - e$在$x = e$时均趋近于$0$，因此：
$\lim_{x \to e} \frac{\ln x - 1}{x - e} = \lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{e}.$