题目
一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任意一点的概率与圆盘的面积成正比，且每次射击都能中靶.以X表示弹着点到圆心的距离，求X的概率密度.
一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任意一点的概率与圆盘的面积成正比，且每次射击都能中靶.以X表示弹着点到圆心的距离，求X的概率密度.
题目解答
答案
设靶子半径为 $ R = 2 $ m，弹着点到圆心的距离为 $ X $。根据题意，击中靶上任意一点的概率与该点所在区域的面积成正比。因此，$ X $ 的分布函数 $ F(x) $ 可以表示为：
\[
F(x) = P(X \leq x) = \frac{\text{半径为 } x \text{ 的圆的面积}}{\text{半径为 } R \text{ 的圆的面积}} = \frac{\pi x^2}{\pi R^2} = \frac{x^2}{R^2}
\]
当 $ x < 0 $ 时，$ F(x) = 0 $；当 $ x \geq R $ 时，$ F(x) = 1 $。因此，$ F(x) $ 为：
\[
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0, \\
\frac{x^2}{4}, & 0 \leq x < 2, \\
1, & x \geq 2.
\end{cases}
\]
对 $ F(x) $ 求导得概率密度函数 $ f(x) $：
\[
f(x) = F'(x) = \begin{cases}
0, & x < 0, \\
\frac{x}{2}, & 0 \leq x < 2, \\
0, & x \geq 2.
\end{cases}
\]
综上，$ X $ 的概率密度为：
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{x}{2}, & 0 \leq x < 2, \\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
\]
解析
本题考查连续型随机变量概率密度的求解，解题的关键思路是先根据已知条件求出随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，再对分布函数求导得到概率密度函数 $f(x)$。
- 确定分布函数 $F(x)$ 的表达式：
- 已知击中靶上任意一点的概率与圆盘的面积成正比，设靶子半径为 $R = 2$ m，弹着点到圆心的距离为 $X$。
- 对于 $x \lt 0$，因为弹着点到圆心的距离不可能为负，所以 $P(X\leq x)=0$，即 $F(x)=0$。
- 对于 $0\leq x \lt 2$，$P(X\leq x)$ 表示弹着点落在半径为 $x$ 的圆内的概率，根据几何概型，其概率等于半径为 $x$ 的圆的面积与半径为 $R$ 的圆的面积之比。半径为 $x$ 的圆的面积为 $\pi x^{2}$，半径为 $R$ 的圆的面积为 $\pi R^{2}$，则 $F(x)=P(X\leq x)=\frac{\pi x^{2}}{\pi R^{2}}=\frac{x^{2}}{R^{2}}$，将 $R = 2$ 代入可得 $F(x)=\frac{x^{2}}{4}$。
- 对于 $x\geq 2$，因为弹着点必然落在半径为 $2$ 的圆盘内，所以 $P(X\leq x)=1$，即 $F(x)=1$。
- 综上，$X$ 的分布函数为 $F(x)=\begin{cases}0, & x \lt 0\\\frac{x^{2}}{4}, & 0\leq x \lt 2\\1, & x\geq 2\end{cases}$。
- 求概率密度函数 $f(x)$：
- 根据概率密度函数与分布函数的关系 $f(x)=F^\prime(x)$。
- 当 $x \lt 0$ 时，$F(x)=0$，对其求导，根据常数的导数为 $0$，可得 $f(x)=F^\prime(x)=0$。
- 当 $0\leq x \lt 2$ 时，$F(x)=\frac{x^{2}}{4}$，对其求导，根据求导公式 $(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得 $f(x)=F^\prime(x)=(\frac{x^{2}}{4})^\prime=\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$。
- 当 $x\geq 2$ 时，$F(x)=1$，对其求导，根据常数的导数为 $0$，可得 $f(x)=F^\prime(x)=0$。
- 综上，$X$ 的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2}, & 0\leq x \lt 2\\0, & \text{其他}\end{cases}$。