题目
7.26 在一体积较大的钢块上开一个贯穿的槽,其宽度和深度都是10mm。在槽内紧密-|||-无隙地嵌入一铝质立方块,它的尺寸是 times 10mmtimes 10mm 。当铝块受到压力 F=6kN-|||-的作用时,假设钢块不变形。铝的弹性模量 =70G(P)_(a) mu =0.33 。试求铝块的三个主应力-|||-及相应的变形。-|||-F-|||-10-|||-题7.26图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定主应力
铝块在槽内受到压力F的作用，由于槽的宽度和深度都是10mm，铝块的尺寸也是$10mm\times 10mm\times 10mm$，因此铝块在槽内紧密无隙地嵌入，可以认为铝块在槽内受到均匀的压力。由于铝块的尺寸与槽的尺寸相同，铝块在槽内受到的压力可以认为是均匀分布的，因此铝块的三个主应力分别为：
${\sigma }_{1}=0$，因为铝块在槽内受到的压力是均匀分布的，没有沿槽的长度方向的应力；
${\sigma }_{2}=-\frac{F}{A}$，其中A是铝块的横截面积，$A=10mm\times 10mm=100mm^{2}$，因此${\sigma }_{2}=-\frac{6kN}{100mm^{2}}=-60MPa$；
${\sigma }_{3}=-\mu{\sigma }_{2}$，其中$\mu$是铝的泊松比，$\mu=0.33$，因此${\sigma }_{3}=-0.33\times(-60MPa)=19.8MPa$。
步骤 2：计算变形
铝块的三个主应力分别为${\sigma }_{1}=0$，${\sigma }_{2}=-60MPa$，${\sigma }_{3}=19.8MPa$，因此铝块的三个主应变分别为：
${\varepsilon }_{1}=\frac{{\sigma }_{1}}{E}-\mu\left(\frac{{\sigma }_{2}}{E}+\frac{{\sigma }_{3}}{E}\right)=0-\mu\left(\frac{-60MPa}{70GPa}+\frac{19.8MPa}{70GPa}\right)=-0.33\times\left(-0.000857+0.000283\right)=-0.000191$；
${\varepsilon }_{2}=\frac{{\sigma }_{2}}{E}-\mu\left(\frac{{\sigma }_{1}}{E}+\frac{{\sigma }_{3}}{E}\right)=\frac{-60MPa}{70GPa}-\mu\left(0+\frac{19.8MPa}{70GPa}\right)=-0.000857-0.33\times0.000283=-0.000941$；
${\varepsilon }_{3}=\frac{{\sigma }_{3}}{E}-\mu\left(\frac{{\sigma }_{1}}{E}+\frac{{\sigma }_{2}}{E}\right)=\frac{19.8MPa}{70GPa}-\mu\left(0+\frac{-60MPa}{70GPa}\right)=0.000283-0.33\times(-0.000857)=0.000516$。
因此，铝块的三个主变形分别为：
$\Delta{l}_{1}={\varepsilon }_{1}\times{l}_{1}=-0.000191\times10mm=-1.91\times{10}^{-3}mm$；
$\Delta{l}_{2}={\varepsilon }_{2}\times{l}_{2}=-0.000941\times10mm=-9.41\times{10}^{-3}mm$；
$\Delta{l}_{3}={\varepsilon }_{3}\times{l}_{3}=0.000516\times10mm=5.16\times{10}^{-3}mm$。
铝块在槽内受到压力F的作用，由于槽的宽度和深度都是10mm，铝块的尺寸也是$10mm\times 10mm\times 10mm$，因此铝块在槽内紧密无隙地嵌入，可以认为铝块在槽内受到均匀的压力。由于铝块的尺寸与槽的尺寸相同，铝块在槽内受到的压力可以认为是均匀分布的，因此铝块的三个主应力分别为：
${\sigma }_{1}=0$，因为铝块在槽内受到的压力是均匀分布的，没有沿槽的长度方向的应力；
${\sigma }_{2}=-\frac{F}{A}$，其中A是铝块的横截面积，$A=10mm\times 10mm=100mm^{2}$，因此${\sigma }_{2}=-\frac{6kN}{100mm^{2}}=-60MPa$；
${\sigma }_{3}=-\mu{\sigma }_{2}$，其中$\mu$是铝的泊松比，$\mu=0.33$，因此${\sigma }_{3}=-0.33\times(-60MPa)=19.8MPa$。
步骤 2：计算变形
铝块的三个主应力分别为${\sigma }_{1}=0$，${\sigma }_{2}=-60MPa$，${\sigma }_{3}=19.8MPa$，因此铝块的三个主应变分别为：
${\varepsilon }_{1}=\frac{{\sigma }_{1}}{E}-\mu\left(\frac{{\sigma }_{2}}{E}+\frac{{\sigma }_{3}}{E}\right)=0-\mu\left(\frac{-60MPa}{70GPa}+\frac{19.8MPa}{70GPa}\right)=-0.33\times\left(-0.000857+0.000283\right)=-0.000191$；
${\varepsilon }_{2}=\frac{{\sigma }_{2}}{E}-\mu\left(\frac{{\sigma }_{1}}{E}+\frac{{\sigma }_{3}}{E}\right)=\frac{-60MPa}{70GPa}-\mu\left(0+\frac{19.8MPa}{70GPa}\right)=-0.000857-0.33\times0.000283=-0.000941$；
${\varepsilon }_{3}=\frac{{\sigma }_{3}}{E}-\mu\left(\frac{{\sigma }_{1}}{E}+\frac{{\sigma }_{2}}{E}\right)=\frac{19.8MPa}{70GPa}-\mu\left(0+\frac{-60MPa}{70GPa}\right)=0.000283-0.33\times(-0.000857)=0.000516$。
因此，铝块的三个主变形分别为：
$\Delta{l}_{1}={\varepsilon }_{1}\times{l}_{1}=-0.000191\times10mm=-1.91\times{10}^{-3}mm$；
$\Delta{l}_{2}={\varepsilon }_{2}\times{l}_{2}=-0.000941\times10mm=-9.41\times{10}^{-3}mm$；
$\Delta{l}_{3}={\varepsilon }_{3}\times{l}_{3}=0.000516\times10mm=5.16\times{10}^{-3}mm$。