1.1 设θ是一批产品的不合格品率，已知它不是0.1就是0.2，且其先验分布为pi(0.1)=0.7，pi(0.2)=0.3假如从这批产品中随机取出8个进行检查，发现有2个不合格品，求θ的后验分布。

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理在离散先验分布下的后验分布计算，涉及二项分布的似然函数和全概率公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定先验分布：已知θ的可能取值为0.1和0.2，对应的先验概率分别为0.7和0.3。
2. 计算似然函数：根据二项分布公式，分别计算θ=0.1和θ=0.2时，观测到2个不合格品的似然值。
3. 计算全概率：将似然值与先验概率相乘后求和，得到观测数据的总概率。
4. 应用贝叶斯公式：将似然值与先验概率的乘积除以全概率，得到后验概率。

破题关键点：

• 正确应用二项分布公式计算似然函数。
• 准确计算全概率时注意权重（先验概率）的分配。
• 验证后验概率之和是否为1，确保计算正确性。

步骤1：计算似然函数

对于θ=0.1：
$P(X=2|\theta=0.1) = \binom{8}{2} \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^6 = 28 \cdot 0.01 \cdot 0.531441 \approx 0.1488$

对于θ=0.2：
$P(X=2|\theta=0.2) = \binom{8}{2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^6 = 28 \cdot 0.04 \cdot 0.262144 \approx 0.2936$

步骤2：计算全概率

$P(X=2) = P(X=2|\theta=0.1) \cdot \pi(0.1) + P(X=2|\theta=0.2) \cdot \pi(0.2) \\ = 0.1488 \cdot 0.7 + 0.2936 \cdot 0.3 \approx 0.1922$

步骤3：计算后验概率

对于θ=0.1：
$P(\theta=0.1|X=2) = \frac{0.1488 \cdot 0.7}{0.1922} \approx 0.542$

对于θ=0.2：
$P(\theta=0.2|X=2) = \frac{0.2936 \cdot 0.3}{0.1922} \approx 0.458$