26.判断题若u(x,y),(x,y)都是调和函数，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。()A. 对B. 错

本题考查调和函数与解析函数的概念及关系。解题的关键在于明确调和函数和解析函数的定义，以及判断一个复变函数为解析函数的条件。

1. 明确调和函数和解析函数的定义

• 调和函数：若二元函数 $u(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$，则称 $u(x,y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数。同理，对于 $v(x,y)$ 也有类似定义。
• 解析函数：设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，如果 $f(z)$ 在 $D$ 内每一点 $z$ 处可微，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。而判断 $f(z)$ 可微的一个重要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 满足柯西 - 黎曼方程（C - R 方程）$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

2. 分析题目条件

题目仅告知 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都是调和函数，即 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$ 且 $\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}} = 0$，但并没有给出 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 满足柯西 - 黎曼方程的信息。

3. 举例说明

例如，取 $u(x,y)=x^{2}-y^{2}$，$v(x,y)=x^{2}+y^{2}$。

• 先验证 $u(x,y)$ 是调和函数：
  • 计算 $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = 2$；$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y$，$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-2$。
  • 则 $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=2+( - 2)=0$，所以 $u(x,y)$ 是调和函数。
• 再验证 $v(x,y)$ 是调和函数：
  • 计算 $\frac{\partial v}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}} = 2$；$\frac{\partial v}{\partial y}=2y$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=2$。
  • 则 $\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=2 + 2=4\neq0$，这里我们重新取 $v(x,y)=2xy$。
  • 计算 $\frac{\partial v}{\partial x}=2y$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}} = 0$；$\frac{\partial v}{\partial y}=2x$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0$。
  • 则 $\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0+0 = 0$，所以 $v(x,y)$ 是调和函数。
• 最后验证是否满足 C - R 方程：
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial v}{\partial y}=2x$，满足 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$；
  • 但 $\frac{\partial u}{\partial y}=-2y$，$-\frac{\partial v}{\partial x}=-2y$，这里我们再重新调整 $v(x,y)=x^{2}-y^{2}$。
  • 计算 $\frac{\partial v}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}} = 2$；$\frac{\partial v}{\partial y}=-2y$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=-2$，$\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0$，$v(x,y)$ 是调和函数。
  • 此时 $\frac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial v}{\partial y}=-2y$，$\frac{\partial u}{\partial x}\neq\frac{\partial v}{\partial y}$，不满足柯西 - 黎曼方程，所以 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 不是解析函数。

由此可见，仅 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是调和函数，并不能得出 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是解析函数的结论。