14) lim_(x to 1)((1)/(1-x)-(3)/(1-x^3))

题目分析

我们需要计算以下极限：

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \right)$

当 $x \to 1$ 时，分母 $1-x \to 0$ 且 $1-x^3 \to 0$，因此这是一个 $\infty - \infty$ 型的未定式。我们需要先对括号内的式子进行通分，将其转化为 $\frac{0}{0}$ 型，然后再进行化简求值。

计算过程

1. 通分

首先，利用立方差公式将 $1-x^3$ 分解：
$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$

所以，两个分式的公分母为 $(1 - x)(1 + x + x^2)$。

将原式通分：
$\frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} = \frac{1 \cdot (1 + x + x^2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} - \frac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

合并分子：
$= \frac{(1 + x + x^2) - 3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{x^2 + x - 2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

2. 分子因式分解

观察分子 $x^2 + x - 2$，当 $x = 1$ 时，分子为 $1 + 1 - 2 = 0$，说明 $(x - 1)$ 是它的一个因式。

进行因式分解：
$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

3. 约分化简

将分解后的分子代入极限式中：
$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$

注意到分母中的 $(1 - x)$ 与分子中的 $(x - 1)$ 互为相反数，即 $x - 1 = -(1 - x)$。

所以：
$\frac{(x - 1)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{-(1 - x)(x + 2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} = \frac{-(x + 2)}{1 + x + x^2}$

4. 代入求值

此时，分母在 $x \to 1$ 时不再为零，可以直接代入 $x = 1$：

$\lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{1 + x + x^2} = \frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1^2} = \frac{-3}{3} = -1$

最终答案

该极限的值为 $-1$。