题目
设总体sim N((12)^2) , sim N((12)^2) , sim N((12)^2)是来自总体 X 的一个样本sim N((12)^2)为样本均值且sim N((12)^2)则sim N((12)^2) ( ) ( A )sim N((12)^2)( B ) sim N((12)^2)( C ) 4 ( D ) sim N((12)^2)
设总体
, 
, 
是来自总体 X 的一个样本
为样本均值且
则
( )
( A )
( B ) 
( C ) 4
( D ) 
题目解答
答案
已知总体
, 而 , 是来自总体 X 的一个样本为样本均值，则
，其中
，则根据与对比得到答案，即
本题答案选择D
解析
步骤 1：理解总体分布
总体$X\sim N(1, 12^2)$，表示总体均值为1，方差为$12^2$，即总体的标准差为12。
步骤 2：样本均值的分布
样本均值$\overline{X}$的分布为$N(1, \frac{12^2}{n})$，其中$n$是样本容量。这是因为样本均值的均值等于总体均值，而样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。
步骤 3：标准化样本均值
根据题目，$\dfrac{\overline{X}-1}{c}\sim N(0,1)$，这表示$\overline{X}$经过标准化后服从标准正态分布。标准化的公式为$\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。将$\mu=1$，$\sigma=12$代入，得到$\dfrac{\overline{X}-1}{12/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。
步骤 4：确定$c$的值
对比$\dfrac{\overline{X}-1}{c}\sim N(0,1)$和$\dfrac{\overline{X}-1}{12/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，可以得出$c=12/\sqrt{n}$。因此，$c=\dfrac{12}{\sqrt{n}}$。
总体$X\sim N(1, 12^2)$，表示总体均值为1，方差为$12^2$，即总体的标准差为12。
步骤 2：样本均值的分布
样本均值$\overline{X}$的分布为$N(1, \frac{12^2}{n})$，其中$n$是样本容量。这是因为样本均值的均值等于总体均值，而样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。
步骤 3：标准化样本均值
根据题目，$\dfrac{\overline{X}-1}{c}\sim N(0,1)$，这表示$\overline{X}$经过标准化后服从标准正态分布。标准化的公式为$\dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。将$\mu=1$，$\sigma=12$代入，得到$\dfrac{\overline{X}-1}{12/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$。
步骤 4：确定$c$的值
对比$\dfrac{\overline{X}-1}{c}\sim N(0,1)$和$\dfrac{\overline{X}-1}{12/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，可以得出$c=12/\sqrt{n}$。因此，$c=\dfrac{12}{\sqrt{n}}$。