在六阶行列式中项 a_(32)a_(54)a_(41)a_(65)a_(13)a_(26) 所带的符号是 ______.

我们来分析题目：求六阶行列式中项
$a_{32}a_{54}a_{41}a_{65}a_{13}a_{26}$
所带的符号。

第一步：回顾行列式的定义

一个 $ n $ 阶行列式定义为：

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$

其中，$\sigma$ 是列标的一个排列，对应于每一行取某一列的元素，且每行每列各取一个元素。

也可以从行标和列标的排列角度考虑：
行列式中任意一项是来自不同行、不同列的 $ n $ 个元素的乘积，形式为：
$a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}$
其中行标 $ i_1, i_2, \ldots, i_n $ 是 $ 1 $ 到 $ n $ 的一个排列，列标 $ j_1, j_2, \ldots, j_n $ 也是一个排列。

该项的符号由 列标排列的奇偶性 决定（当行标按自然顺序排列时）。
但如果行标不是自然顺序，我们可以将该项重新排列为行标按 $1,2,3,4,5,6$ 顺序排列的形式，然后看对应的列标排列的逆序数，从而判断符号。

更一般地，符号由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定，即：

$\text{符号} = (-1)^{\tau(\text{行标}) + \tau(\text{列标})}$

但更常用的方法是：
将该项写成标准形式（行标按自然顺序排列），然后看对应的列标排列的逆序数。

第二步：整理该项的行标和列标

给定的项是：

$a_{32}a_{54}a_{41}a_{65}a_{13}a_{26}$

我们逐个列出每个元素的行标和列标：

元素	行标 $i$	列标 $j$
$a_{32}$	3	2
$a_{54}$	5	4
$a_{41}$	4	1
$a_{65}$	6	5
$a_{13}$	1	3
$a_{26}$	2	6

所以，我们有六对：
行标排列：$ (3,5,4,6,1,2) $
列标排列：$ (2,4,1,5,3,6) $

注意：这两个排列是对应元素的顺序，但不是按行标从小到大排列的。

为了判断符号，我们通常将乘积项重排为行标按自然顺序 $1,2,3,4,5,6$ 排列，然后看对应的列标形成什么样的排列，再计算其逆序数。

第三步：按行标从小到大重新排列元素

我们把元素按照行标从 1 到 6 的顺序排列：

• 行标 1：$a_{13}$ → 列标 3
• 行标 2：$a_{26}$ → 列标 6
• 行标 3：$a_{32}$ → 列标 2
• 行标 4：$a_{41}$ → 列标 1
• 行标 5：$a_{54}$ → 列标 4
• 行标 6：$a_{65}$ → 列标 5

所以，重排后的列标序列为：

$(3, 6, 2, 1, 4, 5)$

这就是对应于行标自然排列 $1,2,3,4,5,6$ 的列标排列。

第四步：计算列标排列的逆序数

我们现在计算排列：
$j = (3, 6, 2, 1, 4, 5)$
的逆序数（即有多少对 $i < j$ 但 $j_i > j_j$）。

我们逐个计算每个数后面比它小的数的个数：

1. 第1个数：3
   后面比3小的数：2, 1 → 2 个

2. 第2个数：6
   后面比6小的数：2,1,4,5 → 全部都小 → 4 个

3. 第3个数：2
   后面比2小的数：1 → 1 个

4. 第4个数：1
   后面比1小的数：无 → 0 个

5. 第5个数：4
   后面比4小的数：无（5 > 4）→ 0 个

6. 第6个数：5
   后面无数 → 0 个

逆序数总和：
$2 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 = 7$

第五步：判断符号

逆序数为 7，是奇数，所以排列是奇排列，符号为负。

因此，该项所带的符号是：
$(-1)^7 = -1$

✅ 最终答案：

$\boxed{-}$

即，该项所带的符号是 负号。