设 X_1, X_2, X_3, X_4 是来自正态总体 N(mu, 3^2) 的一个样本，其中 mu 是未知参数，在如下 mu 的无偏估计量中，最有效的估计量是 _______。hat(mu)_1 = (3)/(5) X_1 + (1)/(5) X_2 + (1)/(5) X_3;hat(mu)_2 = (1)/(3) X_1 + (1)/(3) X_2 + (1)/(3) X_3;hat(mu)_3 = (1)/(4) (X_1 + X_2 + X_3 + X_4).

我们要在三个无偏估计量中，找出**最有效**（即方差最小）的估计量。 题设中，$X_1, X_2, X_3, X_4 \sim N(\mu, 3^2)$，即它们是来自正态分布 $N(\mu, 9)$ 的独立样本。 --- ### 第一步：理解“最有效”的含义 在统计学中，**估计量的有效性**指的是其**方差**的大小。 对于无偏估计量，**方差越小，估计越有效**。 因此，我们要比较三个无偏估计量的方差，选择方差最小的那个。 --- ### 第二步：计算每个估计量的方差 #### 1. $\hat{\mu}_1 = \frac{3}{5} X_1 + \frac{1}{5} X_2 + \frac{1}{5} X_3$ - 各项系数平方和为： $$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{1}{25} + \frac{1}{25} = \frac{11}{25} $$ - 每个 $X_i$ 的方差为 9，所以： $$ \text{Var}(\hat{\mu}_1) = \frac{11}{25} \cdot 9 = \frac{99}{25} = 3.96 $$ --- #### 2. $\hat{\mu}_2 = \frac{1}{3} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{3} X_3$ - 各项系数平方和为： $$ 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3} $$ - 方差为： $$ \text{Var}(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 $$ --- #### 3. $\hat{\mu}_3 = \frac{1}{4}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)$ - 这是样本均值，系数平方和为： $$ 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4} $$ - 方差为： $$ \text{Var}(\hat{\mu}_3) = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4} = 2.25 $$ --- ### 第三步：比较方差，找出最有效估计量 - $\text{Var}(\hat{\mu}_1) = 3.96$ - $\text{Var}(\hat{\mu}_2) = 3$ - $\text{Var}(\hat{\mu}_3) = 2.25$ **方差最小的是 $\hat{\mu}_3$，因此它是三个无偏估计量中最有效的。** --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{\hat{\mu}_3} $$