题目
若随机变量X与Y的协方差Cov(X，Y) =0，则以下结论中正确的是（ ）.A. X与Y相互独立B. D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )C. D ( X - Y ) = D ( X ) - D ( Y )D. D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y )
若随机变量X与Y的协方差Cov(X，Y) =0，则以下结论中正确的是（ ）.
A. X与Y相互独立
B. D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )
C. D ( X - Y ) = D ( X ) - D ( Y )
D. D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y )
题目解答
答案
B. D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )
解析
步骤 1：理解协方差为0的含义
协方差Cov(X, Y) = 0表示随机变量X和Y之间没有线性相关性。然而，这并不意味着X和Y相互独立。因此，选项A不正确。
步骤 2：计算D(X + Y)
根据方差的性质，对于任意两个随机变量X和Y，有D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)。由于Cov(X, Y) = 0，所以D(X + Y) = D(X) + D(Y)。因此，选项B正确。
步骤 3：计算D(X - Y)
同样地，根据方差的性质，D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X, Y)。由于Cov(X, Y) = 0，所以D(X - Y) = D(X) + D(Y)。因此，选项C不正确。
步骤 4：计算D(XY)
D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2。由于X和Y的协方差为0，这并不意味着D(XY) = D(X)D(Y)。因此，选项D不正确。
协方差Cov(X, Y) = 0表示随机变量X和Y之间没有线性相关性。然而，这并不意味着X和Y相互独立。因此，选项A不正确。
步骤 2：计算D(X + Y)
根据方差的性质，对于任意两个随机变量X和Y，有D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y)。由于Cov(X, Y) = 0，所以D(X + Y) = D(X) + D(Y)。因此，选项B正确。
步骤 3：计算D(X - Y)
同样地，根据方差的性质，D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X, Y)。由于Cov(X, Y) = 0，所以D(X - Y) = D(X) + D(Y)。因此，选项C不正确。
步骤 4：计算D(XY)
D(XY) = E[(XY)^2] - [E(XY)]^2。由于X和Y的协方差为0，这并不意味着D(XY) = D(X)D(Y)。因此，选项D不正确。