题目
2.判断题lim_(ntoinfty)(1+2+...+n)/(n^2)=lim_(ntoinfty)(1)/(n^2)+lim_(ntoinfty)(2)/(n^2)+...+lim_(ntoinfty)(n)/(n^2)=0A 对B 错
2.判断题
$\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}+\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}}=0$
A 对
B 错
题目解答
答案
该题考察极限运算的正确性。原式为：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2}
\]
根据等差数列求和公式，$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，代入得：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2}
\]
然而，题目中将原式拆分为：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} + \cdots + \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2}
\]
这里的问题在于，当 $n \to \infty$ 时，项数 $n$ 也趋于无穷，无法直接应用极限的加法性质（该性质仅适用于有限项）。因此，这种拆分是错误的。
正确答案：B 错。
解析
考查要点：本题主要考查极限运算的性质，特别是无限项求和时极限的加法性质是否适用。关键在于理解极限运算对有限项求和的分配律成立，但对无限项求和不成立。
解题核心思路：
- 正确计算原极限：利用等差数列求和公式化简分子，再通过代数运算求极限。
- 分析题目中的错误：将原式拆分为无限个极限相加，违背了极限运算的有限性原则。
步骤1：计算原极限的正确值
原式为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2}$
根据等差数列求和公式，分子为：
$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
代入原式得：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = \frac{1}{2}$
因此，原极限的正确值为 $\frac{1}{2}$。
步骤2：分析题目中的错误拆分
题目将原式拆分为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} + \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} + \cdots + \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2}$
关键错误在于：
- 当 $n \to \infty$ 时，项数 $n$ 本身趋于无穷，此时无限项相加的极限不能直接拆分为每个项的极限之和。
- 虽然每个 $\lim_{n \to \infty} \frac{k}{n^2} = 0$（$k=1,2,\dots,n$），但无限个0相加的结果不一定是0，需进一步分析。
结论：题目中的拆分方法违反了极限运算的有限性原则，因此是错误的。