题目
设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问：5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问：5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
题目解答
答案
设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1，X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。
由独立同分布的中心极限定理可知
=1-φ(1.414)=1-0.9215
=0.0785
解析
步骤 1：定义随机变量
设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量，X1，X2，…，X5000相互独立且服从相同的分布，其数学期望E(Xi)=0.5kg，均方差D(Xi)=0.1kg。
步骤 2：计算总重量的期望和方差
总重量的期望值为E(ΣXi)=5000*E(Xi)=5000*0.5=2500kg。
总重量的方差为D(ΣXi)=5000*D(Xi)=5000*0.1^2=50kg^2。
总重量的标准差为√D(ΣXi)=√50kg。
步骤 3：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当样本量足够大时，总重量的分布近似于正态分布。因此，我们可以将总重量超过2510kg的概率问题转化为标准正态分布的概率问题。
计算标准化后的值：(2510-2500)/√50=10/√50≈1.414。
步骤 4：查找标准正态分布表
查标准正态分布表，得到P(Z>1.414)=1-φ(1.414)=1-0.9215=0.0785。
设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量，X1，X2，…，X5000相互独立且服从相同的分布，其数学期望E(Xi)=0.5kg，均方差D(Xi)=0.1kg。
步骤 2：计算总重量的期望和方差
总重量的期望值为E(ΣXi)=5000*E(Xi)=5000*0.5=2500kg。
总重量的方差为D(ΣXi)=5000*D(Xi)=5000*0.1^2=50kg^2。
总重量的标准差为√D(ΣXi)=√50kg。
步骤 3：应用中心极限定理
根据独立同分布的中心极限定理，当样本量足够大时，总重量的分布近似于正态分布。因此，我们可以将总重量超过2510kg的概率问题转化为标准正态分布的概率问题。
计算标准化后的值：(2510-2500)/√50=10/√50≈1.414。
步骤 4：查找标准正态分布表
查标准正态分布表，得到P(Z>1.414)=1-φ(1.414)=1-0.9215=0.0785。