某排队系统只有1名服务员,平均每小时有4名顾客到达,到达过程为Poisson流,,服务时间服从负指数分布,平均需6分钟,由于场地限制,系统内最多不超过3名顾客,求:(1)系统内没有顾客的概率;(2)系统内顾客的平均数;(3)排队等待服务的顾客数;(4)顾客在系统中的平均花费时间;(5)顾客平均排队时间。

本题考察M/M/1有限容量排队系统的性能指标计算。关键点在于：

1. 系统容量限制导致状态概率计算不同于无限容量模型；
2. 泊松到达与负指数服务时间保证了系统的生灭过程特性；
3. 交通强度$\rho = \lambda / \mu$需结合容量限制调整公式；
4. 平均数与时间指标需通过状态概率或调整后的公式计算。

参数设定

• 到达率$\lambda = 4$/小时，服务率$\mu = 10$/小时（服务时间6分钟对应$\mu = 10$）；
• 交通强度$\rho = \lambda / \mu = 0.4$；
• 系统最大容量$K = 3$。

(1) 系统内没有顾客的概率$P_0$

状态概率公式：
有限容量下，状态$n$的概率为$P_n = \frac{\rho^n}{n!} P_0$，总概率和为1：
$\sum_{n=0}^{K} P_n = 1 \implies P_0 = \frac{1 - \rho}{1 - \rho^{K+1}}.$
代入$\rho = 0.4$，$K = 3$：
$P_0 = \frac{1 - 0.4}{1 - 0.4^4} = \frac{0.6}{0.9744} \approx 0.616.$

(2) 系统内顾客的平均数$L$

公式推导：
$L = \frac{\rho}{1 - \rho} - \frac{(K+1)\rho^{K+1}}{1 - \rho^{K+1}}.$
代入数值：
$L = \frac{0.4}{0.6} - \frac{4 \cdot 0.4^4}{1 - 0.4^4} \approx 0.6667 - 0.1051 = 0.5616 \approx 0.562.$

(3) 排队等待的顾客数$L_q$

关系式：
$L_q = L - \frac{\lambda}{\mu}(1 - P_K),$
其中$P_K = \rho^3 P_0 \approx 0.0394$：
$L_q = 0.562 - \frac{4}{10} \cdot (1 - 0.0394) \approx 0.562 - 0.384 = 0.178.$

(4) 顾客在系统中的平均时间$W$

Little定律：
$W = \frac{L}{\lambda (1 - P_K)} \approx \frac{0.562}{4 \cdot 0.9606} \approx 0.146 \text{小时} \approx 8.8 \text{分钟}.$

(5) 顾客平均排队时间$W_q$

分解关系：
$W_q = W - \frac{1}{\mu} \approx 0.146 \text{小时} - 0.1 \text{小时} = 0.046 \text{小时} \approx 2.8 \text{分钟}.$