题目

已知随机变量X，Y的分布律为X -1 0 1 Y 0 1-|||-P 0.25 0.5 0.25 , P 0.5 0.5，并且X -1 0 1 Y 0 1-|||-P 0.25 0.5 0.25 , P 0.5 0.5.（1）求X和Y的联合分布律；（2）求X -1 0 1 Y 0 1-|||-P 0.25 0.5 0.25 , P 0.5 0.5.

已知随机变量X，Y的分布律为 $\begin{pmatrix} X&-1&0&1 \newline P&0.25&0.5&0.25 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} Y&0&1 \newline P&0.5&0.5 \end{pmatrix}$ ，并且 $P\left\{XY=0\right\}=1$ .

（1）求X和Y的联合分布律；（2）求 $Cov(X,Y)$ .

题目解答

答案

（1） $P\left\{XY=0\right\}=1$ ，则 $P\left(XY=-1\right)=0,P\left(XY=1\right)=0$ ，则 $P\left(X=-1,Y=1\right)=0,P\left(X=X,Y=1\right)=0$ ，则 $P\left(X=0,Y=1\right)=P\left(Y=1\right)-P\left(X=-1,Y=1\right)-P\left(X=1,Y=1\right)$ $=0.5-0-0=0.5$ ， $P\left(X=-1,Y=0\right)=P\left(X=-1\right)-P\left(X=-1,Y=1\right)$ $=0.25-0=0.25$ ， $P\left(X=1,Y=0\right)=P\left(X=1\right)-P\left(X=1,Y=1\right)$ $=0.25-0=0.25$ ， $P\left(X=0,Y=0\right)=P\left(X=0\right)-P\left(X=0,Y=1\right)$ $=0.5-0.5=0$ ，则X与Y的联合分布律为 $\begin{pmatrix} X/Y&0&1 \newline -1&0.25&0\newline 0&0&0.5\newline 1&0.25&0 \end{pmatrix}$ ；

（2） $E\left(X\right)=-1\times P\left(X=-1\right)+0\times P\left(X=0\right)+1\times P\left(X=1\right)$ $=-1\times0.25+0\times0.5+1\times0.25=0$ ， $E\left(Y\right)=0\times P\left(Y=0\right)+1\times P\left(Y=1\right)$ $=0\times0.5+1\times0.5=0.5$ ， $P\left(XY=0\right)=1,P\left(XY=-1\right)=0,P\left(XY=1\right)=0$ ，则 $E\left(XY\right)=-1\times P\left(XY=-1\right)+0\times P\left(XY=0\right)+1\times P\left(XY=1\right)$ $=-1\times0+0\times1+1\times0=0$ ，则 $Cov\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ $=0-0\times0.5=0$ .