题目

8.设两个随机变量X和Y的方差分别为4和1,X,Y的相关系数为 rho xy=0.5, 则随机变量-|||--2y 的方差为-|||-(A)4; (B)8; (C)28; (D)34. [ ]

题目解答

答案

解析

本题考察随机变量方差的性质，特别是两个随机变量线性组合的方差计算。解题关键是利用方差的性质公式：对于随机变量$aX+bY$，其方差$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}$，其中$\rho_{XY}$为$X$与$Y$的相关系数，$D(X)$、$D(Y)$分别为$X$、$Y$的方差。

步骤1：明确已知条件

  • $D(X)=4$，\需求偏性，$D(Y)=1$
  • 相关系数$\rho_{XY}=0.5$
  • 待求$D(3X-2Y)$

步骤2：代入方差公式

根据公式$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}$，此处$a=3$，$b=-2$，代入得：
$\begin{align*}D(3X-2Y)&=3^2D(X)+(-2)^2D(Y)+2\times3\times(-2)\times\rho_{XY}\times\sqrt{D(X)D(Y)}\\&=9\times4 + 4\times1 + 2\times3\times(-2)\times0.5\times\sqrt{4\times1}\end{align*}$

步骤3：计算各项

  1. $9\times4=36$
  2. $4\times1=4$
  3. 交叉项：$2\times3\times(-2)=-12$，$\sqrt{4\times1}=2$，故交叉项为$-12\times0.5\times2=-12$

步骤4：求和得结果

$D(3X-2Y)=36+4-12=28$