题目

设某年级学生的数学考试成绩(单位:分)sim N(72,(sigma )^2).(1)若sim N(72,(sigma )^2).且规定90分以上的成绩为''优秀'',求考试成绩''优秀''学生占该年级学生的比例(2)若a未知,但已知96分以上的学生占该年级学生的比例2.3%,求考试成绩为60~84分的概率.

设某年级学生的数学考试成绩(单位:分) $X\sim N(72,\sigma^2).$

(1)若 $\sigma=10,$ 且规定90分以上的成绩为''优秀'',求考试成绩''优秀''学生占该年级学生的比例

(2)若a未知,但已知96分以上的学生占该年级学生的比例2.3%,求考试成绩为60~84分的概率.

题目解答

答案

$(1)当\sigma=10时，X\sim N(72,10^2)标准化得Z=\frac{90-72}{10}=1.8$

$P(X>90)=1 - P(Z\leqslant1.8)$

$查标准正态分布表得P(Z\leqslant1.8)=0.9641$

$所以P(X>90)=1-0.9641=0.0359，即“优秀”学生占比3.59\%$ $(2)已知P(X>96)=0.023，标准化得Z=\frac{96-72}{\sigma}$

$由1 - P\left(Z\leqslant\frac{96 - 72}{\sigma}\right)=0.023，P\left(Z\leqslant\frac{96 - 72}{\sigma}\right)=0.977$

$查标准正态分布表得\frac{96-72}{\sigma}=2，解得\sigma=12,此时X\sim N(72,12^2)$

$对于X=60，Z_1=\frac{60-72}{12}=-1；对于X=84，Z_2=\frac{84-72}{12}=1$

$P(60\leqslant X\leqslant84)=P(-1\leqslant Z\leqslant1)=2P(0\leqslant Z\leqslant1)$

$查标准正态分布表得P(0\leqslant Z\leqslant1)=0.3413$

$所以P(60\leqslant X\leqslant84)=2\times0.3413 = 0.6826$

故答案为：3.59%； 0.6826

解析

步骤 1：计算90分以上成绩的概率
当 $\sigma = 10$ 时，$X\sim N(72,10^2)$。将 $X$ 标准化，得到 $Z=\dfrac{X-72}{10}$。对于 $X=90$，$Z=\dfrac{90-72}{10}=1.8$。根据标准正态分布表，$P(Z\leqslant 1.8)=0.9641$。因此，$P(X>90)=1-P(Z\leqslant 1.8)=1-0.9641=0.0359$。
步骤 2：计算96分以上成绩的概率
已知 $P(X>96)=0.023$，标准化得 $Z=\dfrac{96-72}{\sigma}$。由 $1-P(Z\leqslant \dfrac{96-72}{\sigma})=0.023$，得 $P(Z\leqslant \dfrac{96-72}{\sigma})=0.977$。查标准正态分布表得 $\dfrac{96-72}{\sigma}=2$，解得 $\sigma=12$。此时 $X\sim N(72,12^2)$。
步骤 3：计算60~84分成绩的概率
对于 $X=60$，$Z_1=\dfrac{60-72}{12}=-1$；对于 $X=84$，$Z_2=\dfrac{84-72}{12}=1$。因此，$P(60\leqslant X\leqslant 84)=P(-1\leqslant Z\leqslant 1)=2P(0\leqslant Z\leqslant 1)$。查标准正态分布表得 $P(0\leqslant Z\leqslant 1)=0.3413$。所以，$P(60\leqslant X\leqslant 84)=2\times 0.3413=0.6826$。