如果连续型随机变量X_(1),X_(2),L,X_(n)相互独立且皆服从参数为λ(λ>0)的指数分布，则下列正确的是（）。其中Φ(x)为标准正态分布函数。A. lim_(n to infty)P((sum_(i=1)^nX_(i)-frac(n)/(lambda))((n)/(lambda^2))leq x)=Phi(x)B. lim_(n to infty)P((lambdasum_(i=1)^nX_(i)-n)/(sqrt(n))leq x)=Phi(x)C. lim_(n to infty)P((sum_(i=1)^nX_(i)-frac(1)/(lambda))((1)/(lambda^2))leq x)=Phi(x)D. lim_(n to infty)P((lambdasum_(i=1)^nX_(i)-n)/(n)leq x)=Phi(x)

本题考查的知识点是中心极限定理以及指数分布的期望和方差。解题的关键思路是先确定指数分布的期望和方差，再根据独立同分布的中心极限定理来判断各个选项的正确性。

步骤一：求指数分布的期望和方差

已知连续型随机变量$X_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$服从参数为$\lambda(\lambda\gt0)$的指数分布，根据指数分布的性质，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$。
期望$E(X_{i})$的计算公式为$E(X_{i})=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$，利用分部积分法$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，令$u = x$，$\mathrm{d}v=\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=-e^{-\lambda x}$，可得：
$\begin{align*}E(X_{i})&=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda x}dx\\&=0+\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}\\&=\frac{1}{\lambda}\end{align*}$
方差$D(X_{i})$的计算公式为$D(X_{i})=E(X_{i}^{2})-[E(X_{i})]^{2}$，先求$E(X_{i}^{2})$：
$E(X_{i}^{2})=\int_{0}^{+\infty}x^{2}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$，再次使用分部积分法，令$u = x^{2}$，$\mathrm{d}v=\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$，$v=-e^{-\lambda x}$，可得：
$\begin{align*}E(X_{i}^{2})&=\int_{0}^{+\infty}x^{2}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty}+2\int_{0}^{+\infty}x\cdot e^{-\lambda x}dx\\&=0+\frac{2}{\lambda}\int_{0}^{+\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx\\&=\frac{2}{\lambda}E(X_{i})\\&=\frac{2}{\lambda^{2}}\end{align*}$
所以$D(X_{i})=E(X_{i}^{2})-[E(X_{i})]^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}} - (\frac{1}{\lambda})^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}$。

步骤二：根据中心极限定理进行分析

因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立且同分布，由独立同分布的中心极限定理可知，当$n$充分大时，$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$近似服从正态分布$N(nE(X_{i}),nD(X_{i}))$，即$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\sim N(\frac{n}{\lambda},\frac{n}{\lambda^{2}})$。
对$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$进行标准化，令$Z=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})}{\sqrt{D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-\frac{n}{\lambda}}{\sqrt{\frac{n}{\lambda^{2}}}}=\frac{\lambda\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}$，则当$n\to\infty$时，$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$，即$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\lambda\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\right)=\Phi(x)$。

步骤三：分析各个选项

• 选项A：$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\frac{n}{\lambda}}{\frac{n}{\lambda^{2}}}\leq x\right)$，其标准化形式错误，分母应该是$\sqrt{\frac{n}{\lambda^{2}}}$而不是$\frac{n}{\lambda^{2}}$，所以A选项错误。
• 选项B：由上述分析可知，$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\lambda\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\right)=\Phi(x)$，B选项正确。
• 选项C：$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda^{2}}}\leq x\right)$，分子中$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的期望应该是$\frac{n}{\lambda}$而不是$\frac{1}{\lambda}$，所以C选项错误。
• 选项D：$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{\lambda\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{n}\leq x\right)$，其标准化形式错误，分母应该是$\sqrt{n}$而不是$n$，所以D选项错误。