题目

对随机变量X，Y，已知D(X)=2，D(Y)=3，Cov(X,Y)=-1, 则Cov(3X-2Y, X+4Y)=_______

题目解答

答案

首先，我们需要知道协方差的性质，特别是线性组合的协方差如何计算。

对于随机变量 aX + bY 和 cX + dY，其协方差为：

Cov(aX + bY, cX + dY) = ac ● D(X) + (ad + bc) ● Cov(X,Y) + bd ● D(Y)

其中，D(X) 和 D(Y) 分别是 X 和 Y 的方差，Cov(X,Y) 是 X和 Y 的协方差。

将给定的 D(X) = 2，D(Y) = 3，Cov(X,Y) = -1代入上述公式，并取 a = 3，b = -2，c = 1，d = 4，我们得到：

Cov(3X - 2Y, X + 4Y) = 3 × 1 × 2 + (3× 4 + (-2) × 1) × (-1) + (-2) × 4 × 3

= 6 - 10 - 24

= -28

故答案为：-28

解析

步骤 1：确定协方差的线性组合公式
协方差的线性组合公式为：Cov(aX + bY, cX + dY) = ac ● D(X) + (ad + bc) ● Cov(X,Y) + bd ● D(Y)，其中D(X)和D(Y)分别是X和Y的方差，Cov(X,Y)是X和Y的协方差。

步骤 2：代入已知数值
将给定的D(X) = 2，D(Y) = 3，Cov(X,Y) = -1代入上述公式，并取a = 3，b = -2，c = 1，d = 4，我们得到：Cov(3X - 2Y, X + 4Y) = 3 × 1 × 2 + (3× 4 + (-2) × 1) × (-1) + (-2) × 4 × 3。

步骤 3：计算协方差
根据上述公式，计算得到：Cov(3X - 2Y, X + 4Y) = 6 - 10 - 24 = -28。