题目
54/62 判断题（2分）int_(0)^inftycos xdx发散。正确错误
54/62 判断题（2分）
$\int_{0}^{\infty}\cos xdx$发散。
正确
错误
题目解答
答案
为了判断积分$\int_{0}^{\infty} \cos x \, dx$是否发散，我们需要评估这个反常积分。反常积分是当积分的上限或下限（或两者）是无穷大时的积分。在这种情况下，上限是无穷大。
积分$\int_{0}^{\infty} \cos x \, dx$可以写为：
\[
\int_{0}^{\infty} \cos x \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \cos x \, dx
\]
首先，我们需要找到$\int_{0}^{b} \cos x \, dx$的不定积分。 $\cos x$的不定积分是$\sin x$。因此，我们有：
\[
\int_{0}^{b} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{0}^{b} = \sin b - \sin 0 = \sin b
\]
现在，我们需要取$b$趋于无穷大时的极限：
\[
\lim_{b \to \infty} \sin b
\]
正弦函数，$\sin b$，在-1和1之间振荡。当$b$趋于无穷大时，$\sin b$不会接近任何特定的值。因此，极限$\lim_{b \to \infty} \sin b$不存在。
由于极限不存在，积分$\int_{0}^{\infty} \cos x \, dx$发散。
因此，正确答案是：
\[
\boxed{\text{正确}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查反常积分（广义积分）的收敛性判断，特别是对无限区间上积分发散性的理解。
解题核心思路：
- 反常积分定义：将积分上限替换为有限数$b$，再取$b \to \infty$的极限。
- 计算定积分：求出$\int_{0}^{b} \cos x \, dx$的表达式。
- 极限分析：判断当$b \to \infty$时，积分结果的极限是否存在。
- 结论：若极限不存在，则积分发散。
破题关键点：
- 正弦函数的振荡性：$\sin b$在$b \to \infty$时无极限，导致积分发散。
步骤1：写出反常积分的极限形式
根据反常积分的定义：
$\int_{0}^{\infty} \cos x \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \cos x \, dx$
步骤2：计算定积分$\int_{0}^{b} \cos x \, dx$
$\cos x$的原函数是$\sin x$，因此：
$\int_{0}^{b} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{0}^{b} = \sin b - \sin 0 = \sin b$
步骤3：分析极限$\lim_{b \to \infty} \sin b$
当$b \to \infty$时，$\sin b$在区间$[-1, 1]$内无限振荡，没有确定的极限值。
步骤4：判断积分收敛性
由于极限不存在，积分$\int_{0}^{\infty} \cos x \, dx$发散。