题目
设总体sim N((100,{12)^2})，从中抽取一组容量为sim N((100,{12)^2})的样本sim N((100,{12)^2}),sim N((100,{12)^2})，则sim N((100,{12)^2})_____________。
设总体
，从中抽取一组容量为
的样本
,
，则
_____________。
题目解答
答案
总体，也服从正态分布，
;
;
因此，
;
从而可得
;
综上所述：
.
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体$X\sim N({100,{12}^{2}})$，样本容量为36，根据中心极限定理，样本均值$\overline {X}$也服从正态分布，即$\overline {X}\sim N(\mu,\dfrac {\sigma^{2}}{n})$，其中$\mu=100$，$\sigma^{2}=144$，$n=36$。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值的期望$E(\overline {X})=E(\dfrac {1}{36}\sum _{i=1}^{36}{X}_{i})=\dfrac {1}{36}\sum _{i=1}^{36}E({X}_{i})=\dfrac {1}{36}\times 36\times 100=100$。
样本均值的方差$D(\overline {X})=D(\dfrac {1}{36}\sum _{i=1}^{36}{X}_{i})=\dfrac {1}{{36}^{2}}\sum _{i=1}^{36}D({X}_{i})=\dfrac {1}{{36}^{2}}\times 36\times 144=4$。
步骤 3：计算概率
由于$\overline {X}\sim N(100,4)$，则$P\{ \overline {X}\leqslant 98\} =P\{ \dfrac {\overline {X}-100}{2}\lt -1\} =\Phi(-1)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。查表或使用标准正态分布表，可得$\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$。
由于总体$X\sim N({100,{12}^{2}})$，样本容量为36，根据中心极限定理，样本均值$\overline {X}$也服从正态分布，即$\overline {X}\sim N(\mu,\dfrac {\sigma^{2}}{n})$，其中$\mu=100$，$\sigma^{2}=144$，$n=36$。
步骤 2：计算样本均值的期望和方差
样本均值的期望$E(\overline {X})=E(\dfrac {1}{36}\sum _{i=1}^{36}{X}_{i})=\dfrac {1}{36}\sum _{i=1}^{36}E({X}_{i})=\dfrac {1}{36}\times 36\times 100=100$。
样本均值的方差$D(\overline {X})=D(\dfrac {1}{36}\sum _{i=1}^{36}{X}_{i})=\dfrac {1}{{36}^{2}}\sum _{i=1}^{36}D({X}_{i})=\dfrac {1}{{36}^{2}}\times 36\times 144=4$。
步骤 3：计算概率
由于$\overline {X}\sim N(100,4)$，则$P\{ \overline {X}\leqslant 98\} =P\{ \dfrac {\overline {X}-100}{2}\lt -1\} =\Phi(-1)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。查表或使用标准正态分布表，可得$\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587$。