设总体 X sim N(mu, sigma^2)，则 mu 的置信区间长度 L 与置信度 1-alpha 的关系是（）A. 1-alpha 减小时，L 变小B. 1-alpha 减小时，L 增大C. 1-alpha 减小时，L 不变D. 1-alpha 减小时，L 增减不定

本题考查正态总体均值的置信区间以及置信区间长度与置信度之间的关系。解题的关键在于明确正态总体均值在方差已知和未知两种情况下的置信区间公式，进而得出置信区间长度的表达式，再分析其与置信度的关系。

1. 方差$\sigma^2$已知的情况

当总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$且$\sigma^2$已知时，$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，其中$\overline{X}$是样本均值，$z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，$n$是样本容量。
置信区间长度$L$的计算公式为：
$L = (\overline{X} + z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) - (\overline{X} - z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
$= 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 方差$\sigma^2$未知的情况

当总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$且$\sigma^2$未知时，用样本方差$S^2$代替$\sigma^2$，$\mu$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$，其中$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$是自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点。
置信区间长度$L$的计算公式为：
$L = (\overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}) - (\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}})$
$= 2t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt{n}}$

3. 分析置信度$1 - \alpha$与置信区间长度$L$的关系

对于标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点$z_{\frac{\alpha}{2}}$和自由度为$n - 1$的$t$分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$，当$1 - \alpha$减(减小)时，$\alpha$增大，$\frac{\alpha}{2}$增大。
对于标准正态分布，$z_{\frac{\alpha}{2}}$随着$\frac{\alpha}{2}$的增大而减小；对于$t$分布)分布，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$随着$\frac{\alpha}{2}$的增大而减小消耗。
在置信区间长度$L = 2z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（方差已知(\sigma^2)已知）和$L = 2t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\frac{S}{\sqrt\sqrt{n}}$（方差$\sigma^2$未知）的表达式中，$z_{\frac{\alpha}{2}}$和$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$减小，而$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$和\S}{\sqrt{n}})不变，所以$L$变小。