2 2(20) (本题满分 10 分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C 的物体在20C 的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30C ，若要将该物体的温度继续降至21C ，还需冷却多长时间？

步骤 1：建立数学模型
根据题意，物体温度随时间的变化率与物体和介质的温差成正比，可以建立微分方程模型。设物体的温度为 \(T(t)\)，介质的温度为 \(T_m\)，则有：
\[
\frac{dT}{dt} = -k(T - T_m)
\]
其中，\(k\) 是比例常数，负号表示温度随时间的减少。

步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性微分方程，可以通过分离变量法求解。分离变量后，方程变为：
\[
\frac{dT}{T - T_m} = -k dt
\]
对两边积分，得到：
\[
\int \frac{1}{T - T_m} dT = -k \int dt
\]
\[
\ln|T - T_m| = -kt + C
\]
其中，\(C\) 是积分常数。对上式取指数，得到：
\[
T - T_m = Ce^{-kt}
\]
\[
T(t) = T_m + Ce^{-kt}
\]
步骤 3：确定常数
根据初始条件 \(T(0) = 120\)，得到：
\[
120 = 20 + C
\]
\[
C = 100
\]
所以，物体的温度随时间变化的方程为：
\[
T(t) = 20 + 100e^{-kt}
\]
步骤 4：确定比例常数 \(k\)
根据题意，30分钟后物体的温度降至30°C，即 \(T(30) = 30\)，代入方程求解 \(k\)：
\[
30 = 20 + 100e^{-30k}
\]
\[
10 = 100e^{-30k}
\]
\[
e^{-30k} = \frac{1}{10}
\]
\[
-30k = \ln\left(\frac{1}{10}\right)
\]
\[
k = -\frac{1}{30}\ln\left(\frac{1}{10}\right) = \frac{\ln 10}{30}
\]
步骤 5：求解冷却时间
要将物体的温度继续降至21°C，即 \(T(t) = 21\)，代入方程求解 \(t\)：
\[
21 = 20 + 100e^{-\frac{\ln 10}{30}t}
\]
\[
1 = 100e^{-\frac{\ln 10}{30}t}
\]
\[
e^{-\frac{\ln 10}{30}t} = \frac{1}{100}
\]
\[
-\frac{\ln 10}{30}t = \ln\left(\frac{1}{100}\right)
\]
\[
t = -\frac{30\ln\left(\frac{1}{100}\right)}{\ln 10} = \frac{30\ln 100}{\ln 10} = 60
\]
所以，从30°C降至21°C需要的时间为 \(60 - 30 = 30\) 分钟。