题目
已知 approx N(1,(3)^2), backsim N((0.4)^2), 且X与Y的相关系数 rho =-1/2, 设 =dfrac (x)(3)--|||-y/2, 求D(Z)及ρxz:
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $D(Z)$
首先，根据题目中给出的 $Z=\dfrac {X}{3}-\dfrac {Y}{2}$，我们需要计算 $D(Z)$。根据方差的性质，我们有：
$$D(Z)=D\left(\dfrac {X}{3}-\dfrac {Y}{2}\right)=\dfrac {1}{9}D(X)+\dfrac {1}{4}D(Y)-2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}Cov(X,Y)$$
其中，$D(X)=9$，$D(Y)=16$，$Cov(X,Y)=\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Y)}\rho=-6$。将这些值代入上式，我们得到：
$$D(Z)=\dfrac {1}{9}\times 9+\dfrac {1}{4}\times 16-2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}\times (-6)=1+4+2=7$$
步骤 2：计算 $\rho_{XZ}$
接下来，我们需要计算 $X$ 和 $Z$ 的相关系数 $\rho_{XZ}$。根据相关系数的定义，我们有：
$$\rho_{XZ}=\dfrac {Cov(X,Z)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Z)}}$$
其中，$Cov(X,Z)=Cov(X,\dfrac {X}{3}-\dfrac {Y}{2})=Cov(X,\dfrac {X}{3})-Cov(X,\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}D(X)-\dfrac {1}{2}Cov(X,Y)=3-(-3)=6$。将这些值代入上式，我们得到：
$$\rho_{XZ}=\dfrac {6}{\sqrt {9}\sqrt {7}}=\dfrac {6}{3\sqrt {7}}=\dfrac {2\sqrt {7}}{7}$$
首先，根据题目中给出的 $Z=\dfrac {X}{3}-\dfrac {Y}{2}$，我们需要计算 $D(Z)$。根据方差的性质，我们有：
$$D(Z)=D\left(\dfrac {X}{3}-\dfrac {Y}{2}\right)=\dfrac {1}{9}D(X)+\dfrac {1}{4}D(Y)-2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}Cov(X,Y)$$
其中，$D(X)=9$，$D(Y)=16$，$Cov(X,Y)=\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Y)}\rho=-6$。将这些值代入上式，我们得到：
$$D(Z)=\dfrac {1}{9}\times 9+\dfrac {1}{4}\times 16-2\times \dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{2}\times (-6)=1+4+2=7$$
步骤 2：计算 $\rho_{XZ}$
接下来，我们需要计算 $X$ 和 $Z$ 的相关系数 $\rho_{XZ}$。根据相关系数的定义，我们有：
$$\rho_{XZ}=\dfrac {Cov(X,Z)}{\sqrt {D(X)}\sqrt {D(Z)}}$$
其中，$Cov(X,Z)=Cov(X,\dfrac {X}{3}-\dfrac {Y}{2})=Cov(X,\dfrac {X}{3})-Cov(X,\dfrac {Y}{2})=\dfrac {1}{3}D(X)-\dfrac {1}{2}Cov(X,Y)=3-(-3)=6$。将这些值代入上式，我们得到：
$$\rho_{XZ}=\dfrac {6}{\sqrt {9}\sqrt {7}}=\dfrac {6}{3\sqrt {7}}=\dfrac {2\sqrt {7}}{7}$$