题目
七、已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）在正常情况下服从正态分布N(4.5,0.1²),现在测了9炉铁水，其平均含碳量（%）为overline(x)=4.45，问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（显著水平α=0.05）？
七、已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）在正常情况下服从正态分布N(4.5,0.1²),现在测了9炉铁水，其平均含碳量（%）为$\overline{x}$=4.45，问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（显著水平α=0.05）？
题目解答
答案
已知总体均值 $\mu_0 = 4.5$，标准差 $\sigma = 0.1$，样本均值 $\overline{x} = 4.45$，样本量 $n = 9$，显著水平 $\alpha = 0.05$。
使用 $Z$ 检验统计量：
\[ Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.45 - 4.5}{0.1 / 3} = -1.5 \]
双侧检验的临界值 $Z_{\alpha/2} = 1.96$，
因 $|Z| = 1.5 < 1.96$，不拒绝原假设。
**结论：在 $\alpha = 0.05$ 下，总体平均值无显著变化。**
或计算置信区间：
\[ \overline{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.45 \pm 1.96 \cdot 0.0333 = (4.3847, 4.5153) \]
$\mu_0 = 4.5$ 落在区间内，不拒绝原假设。
**答案：没有显著性变化**
解析
步骤 1：确定检验类型和参数
- 由于总体标准差已知，且总体服从正态分布，因此使用单样本Z检验。
- 总体均值 $\mu_0 = 4.5$，标准差 $\sigma = 0.1$，样本均值 $\overline{x} = 4.45$，样本量 $n = 9$，显著水平 $\alpha = 0.05$。
步骤 2：计算Z检验统计量
- 使用公式 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ 计算Z值。
- 将已知数值代入公式：$Z = \frac{4.45 - 4.5}{0.1 / \sqrt{9}} = \frac{-0.05}{0.1 / 3} = -1.5$。
步骤 3：确定临界值并进行决策
- 对于双侧检验，临界值 $Z_{\alpha/2} = 1.96$。
- 比较计算出的Z值与临界值：$|Z| = 1.5 < 1.96$。
- 因为 $|Z|$ 小于临界值，不拒绝原假设，即总体平均值无显著变化。
步骤 4：计算置信区间（可选）
- 使用公式 $\overline{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 计算置信区间。
- 置信区间为 $4.45 \pm 1.96 \cdot \frac{0.1}{\sqrt{9}} = 4.45 \pm 1.96 \cdot 0.0333 = (4.3847, 4.5153)$。
- 因为 $\mu_0 = 4.5$ 落在区间内，进一步验证不拒绝原假设。
- 由于总体标准差已知，且总体服从正态分布，因此使用单样本Z检验。
- 总体均值 $\mu_0 = 4.5$，标准差 $\sigma = 0.1$，样本均值 $\overline{x} = 4.45$，样本量 $n = 9$，显著水平 $\alpha = 0.05$。
步骤 2：计算Z检验统计量
- 使用公式 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ 计算Z值。
- 将已知数值代入公式：$Z = \frac{4.45 - 4.5}{0.1 / \sqrt{9}} = \frac{-0.05}{0.1 / 3} = -1.5$。
步骤 3：确定临界值并进行决策
- 对于双侧检验，临界值 $Z_{\alpha/2} = 1.96$。
- 比较计算出的Z值与临界值：$|Z| = 1.5 < 1.96$。
- 因为 $|Z|$ 小于临界值，不拒绝原假设，即总体平均值无显著变化。
步骤 4：计算置信区间（可选）
- 使用公式 $\overline{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 计算置信区间。
- 置信区间为 $4.45 \pm 1.96 \cdot \frac{0.1}{\sqrt{9}} = 4.45 \pm 1.96 \cdot 0.0333 = (4.3847, 4.5153)$。
- 因为 $\mu_0 = 4.5$ 落在区间内，进一步验证不拒绝原假设。