题目

4、设一元时间序列X_(t)服从如下的AR(2)模型X_(t)=X_(t-1)-0.5X_(t-2)+varepsilon_(t)其中X_(10)=0.3,X_(9)=0.2,varepsilon_(t)为服从正态分布的白噪音，Var(varepsilon_(t))=0.1，试求：(1)判断X_(t)是否平稳的，说出理由。(2)计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间(Phi_(0.975)=1.96)(3)计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值

4、设一元时间序列$X_{t}$服从如下的AR(2)模型 $X_{t}=X_{t-1}-0.5X_{t-2}+\varepsilon_{t}$ 其中$X_{10}=0.3,X_{9}=0.2,\varepsilon_{t}$为服从正态分布的白噪音，$Var(\varepsilon_{t})=0.1$，试求： (1)判断$X_{t}$是否平稳的，说出理由。 (2)计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间($\Phi_{0.975}=1.96$) (3)计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值

题目解答

答案

为了解决给定的AR(2)模型 $X_t = X_{t-1} - 0.5X_{t-2} + \varepsilon_t$，我们将分步骤进行。 ### (1) 判断 $X_t$ 是否平稳 一个AR(2)模型 $X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \varepsilon_t$ 是平稳的，如果特征方程 $1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0$ 的根在单位圆外。对于给定的模型，$\phi_1 = 1$ 和 $\phi_2 = -0.5$，因此特征方程为： \[1 - z + 0.5z^2 = 0.\] 我们使用二次方程的求根公式 $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 来解这个方程，其中 $a = 0.5$，$b = -1$，和 $c = 1$： \[z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2}}{1} = \frac{1 \pm \sqrt{-1}}{1} = 1 \pm i.\] 根是 $z_1 = 1 + i$ 和 $z_2 = 1 - i$。这些根的模为： \[|z_1| = |z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} > 1.\] 由于两个根都在单位圆外，AR(2)过程是平稳的。 ### (2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间 #### 一期预测 一期预测 $X_{11}$ 为： \[X_{11} = X_{10} - 0.5X_9 = 0.3 - 0.5 \cdot 0.2 = 0.3 - 0.1 = 0.2.\] 一期预测误差的方差为： \[Var(X_{11} - \hat{X}_{11}) = Var(\varepsilon_{11}) = 0.1.\] 一期预测的95%预测区间为： \[0.2 \pm 1.96 \sqrt{0.1} = 0.2 \pm 1.96 \cdot 0.3162 = 0.2 \pm 0.6202.\] 因此，一期预测的95%预测区间为： $[-0.4202, 0.8202].\] #### 二期预测 二期预测 $X_{12}$ 为： \[X_{12} = X_{11} - 0.5X_{10} = 0.2 - 0.5 \cdot 0.3 = 0.2 - 0.15 = 0.05.\] 二期预测误差的方差为： \[Var(X_{12} - \hat{X}_{12}) = Var(\varepsilon_{12} + \varepsilon_{11}) = Var(\varepsilon_{12}) + Var(\varepsilon_{11}) = 0.1 + 0.1 = 0.2.\] 二期预测的95%预测区间为： \[0.05 \pm 1.96 \sqrt{0.2} = 0.05 \pm 1.96 \cdot 0.4472 = 0.05 \pm 0.8765.\] 因此，二期预测的95%预测区间为： $[-0.8265, 0.9265].\] ### (3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值 AR(2)过程的自相关函数 $\rho_k$ 满足Yule-Walker方程： \[\rho_k = \phi_1 \rho_{k-1} + \phi_2 \rho_{k-2}.\] 对于 $k = 1$，我们有： \[\rho_1 = \phi_1 \rho_0 + \phi_2 \rho_{-1} = \phi_1 + \phi_2 \rho_1 \implies \rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} = \frac{1}{1 + 0.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}.\] 对于 $k = 2$，我们有： \[\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_0 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 = 1 \cdot \frac{2}{3} - 0.5 \cdot 1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}.\] 对于 $k = 3$，我们有： \[\rho_3 = \phi_1 \rho_2 + \phi_2 \rho_1 = 1 \cdot \frac{1}{6} - 0.5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}.\] 因此，一阶、二阶和三阶的自相关函数值为： \[\rho_1 = \frac{2}{3}, \quad \rho_2 = \frac{1}{6}, \quad \rho_3 = -\frac{1}{6}.\] 最终答案为： \[ \boxed{\text{(1) 平稳, (2) 一期预测: } 0.2, \text{ 二期预测: } 0.05, \text{ 一期预测的95%预测区间: } [-0.4202, 0.8202], \text{ 二期预测的95%预测区间: } [-0.8265, 0.9265], \text{ (3) } \rho_1 = \frac{2}{3}, \rho_2 = \frac{1}{6}, \rho_3 = -\frac{1}{6}}. \]

解析

本题主要考察了AR(2)模型的平稳性判断、预测值及预测误差方差的计算、自相关函数值的计算。解题思路如下：

  1. 判断平稳性：对于AR(2)模型，通过求解其特征方程，判断根是否在单位圆外，若都在单位圆外则模型平稳。
  2. 计算预测值和预测误差方差：根据AR(2)模型的递推关系计算未来二期的预测值，再根据预测误差的构成计算其方差，最后利用正态分布的性质计算95%的预测区间。
  3. 计算自相关函数值：利用AR(2)过程自相关函数满足的Yule - Walker方程，结合已知条件逐步计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值。

(1) 判断 $X_t$ 是否平稳

一个AR(2)模型 $X_t = \phi_1 X_{t - 1} + \phi_2 X_{t - 2} + \varepsilon_t$ 是平稳的，如果特征方程 $1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 = 0$ 的根在单位圆外。对于给定的模型 $X_{t}=X_{t - 1}-0.5X_{t - 2}+\varepsilon_{t}$，其中 $\phi_1 = 1$ 和 $\phi_2 = -0.5$，因此特征方程为：
$1 - z + 0.5z^2 = 0$
我们使用二次方程的求根公式 $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 来解这个方程，其中 $a = 0.5$，$b = -1$，和 $c = 1$：
$z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\times0.5\times1}}{2\times0.5}=\frac{1 \pm \sqrt{1 - 2}}{1} = \frac{1 \pm \sqrt{-1}}{1} = 1 \pm i$
根是 $z_1 = 1 + i$ 和 $z_2 = 1 - i$。这些根的模为：
$|z_1| = |z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} > 1$
由于两个根都在单位圆外，所以AR(2)过程是平稳的。

(2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间

一期预测

一期预测 $X_{11}$ 为：
$X_{11} = X_{10} - 0.5X_9 = 0.3 - 0.5\times0.2 = 0.3 - 0.1 = 0.2$
一期预测误差为 $X_{11}-\hat{X}_{11}=\varepsilon_{11}$，所以一期预测误差的方差为：
$Var(X_{11} - \hat{X}_{11}) = Var(\varepsilon_{11}) = 0.1$
一期预测的95%预测区间为：
$0.2 \pm 1.96\sqrt{0.1} = 0.2 \pm 1.96\times0.3162 = 0.2 \pm 0.6202$
因此，一期预测的95%预测区间为 $[-0.4202, 0.8202]$。

二期预测

二期预测 $X_{12}$ 为：
$X_{12} = X_{11} - 0.5X_{10} = 0.2 - 0.5\times0.3 = 0.2 - 0.15 = 0.05$
二期预测误差为 $X_{12}-\hat{X}_{12}=\varepsilon_{12}+\varepsilon_{11}$，因为 $\varepsilon_{t}$ 是白噪音，所以 $Var(\varepsilon_{12}+\varepsilon_{11}) = Var(\varepsilon_{12}) + Var(\varepsilon_{11})$，则二期预测误差的方差为：
$Var(X_{12} - \hat{X}_{12}) = Var(\varepsilon_{12}) + Var(\varepsilon_{11}) = 0.1 + 0.1 = 0.2$
二期预测的95%预测区间为：
$0.05 \pm 1.96\sqrt{0.2} = 0.05 \pm 1.96\times0.4472 = 0.05 \pm 0.8765$
因此，二期预测的95%预测区间为 $[-0.8265, 0.9265]$。

(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值

AR(2)过程的自相关函数 $\rho_k$ 满足Yule - Walker方程：
$\rho_k = \phi_1 \rho_{k - 1} + \phi_2 \rho_{k - 2}$
对于 $k = 1$，我们有：
$\rho_1 = \phi_1 \rho_0 + \phi_2 \rho_{-1} = \phi_1 + \phi_2 \rho_1$
移项可得：
$\rho_1(1 - \phi_2)=\phi_1$
则 $\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} = \frac{1}{1 + 0.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$
对于 $k = 2$，我们有：
$\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_0 = 1\times\frac{2}{3} - 0.5\times1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$
对于 $k = 3$，我们有：
$\rho_3 = \phi_1 \rho_2 + \phi_2 \rho_1 = 1\times\frac{1}{6} - 0.5\times\frac{2}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$
因此，一阶、二阶和三阶的自相关函数值为 $\rho_1 = \frac{2}{3}$，$\rho_2 = \frac{1}{6}$，$\rho_3 = -\frac{1}{6}$。