4.（填空题）已知总体Xsim B(1,1/3)，样本X_(1),X_(2),X_(3)则EX_((2))=（）A. (1)/(27)B. (6)/(27)C. (7)/(27)D. (20)/(27)

考查要点：本题主要考查二项分布总体的顺序统计量期望的计算，涉及离散型随机变量的期望和顺序统计量的概率分布。

解题核心思路：

1. 明确二项分布的性质：总体$X \sim B(1, \frac{1}{3})$，即$X$取值为0或1，取1的概率为$\frac{1}{3}$，取0的概率为$\frac{2}{3}$。
2. 理解顺序统计量$X_{(2)}$的定义：在样本$X_1, X_2, X_3$中，$X_{(2)}$是中间值。
3. 分类讨论$X_{(2)}$的可能取值：由于样本取值为0或1，$X_{(2)}$只能是0或1。
4. 计算概率：通过枚举样本组合，计算$P(X_{(2)}=0)$和$P(X_{(2)}=1)$，最终利用期望公式求解。

破题关键点：

• 分类讨论样本组合：根据样本中0和1的数量，确定$X_{(2)}$的取值。
• 组合数计算：利用二项分布的概率公式计算不同组合的概率。

步骤1：确定$X_{(2)}$的可能取值

由于样本$X_1, X_2, X_3$的取值为0或1，$X_{(2)}$的可能取值为0或1。

步骤2：计算$P(X_{(2)}=0)$

$X_{(2)}=0$当且仅当至少有两个样本为0。分为两种情况：

1. 三个样本均为0：概率为$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$。
2. 恰好两个样本为0：概率为$\binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right) = 3 \times \frac{4}{27} = \frac{12}{27}$。

总概率为：
$P(X_{(2)}=0) = \frac{8}{27} + \frac{12}{27} = \frac{20}{27}.$

步骤3：计算$P(X_{(2)}=1)$

利用概率的补集性质：
$P(X_{(2)}=1) = 1 - P(X_{(2)}=0) = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}.$

步骤4：计算期望$E(X_{(2)})$

根据期望公式：
$E(X_{(2)}) = 0 \times \frac{20}{27} + 1 \times \frac{7}{27} = \frac{7}{27}.$