单选题（共25题，2.（4.0分）设X~N(3,4),则P(|X|>2)=（）。A. Phi(2.5)-Phi(0.5)-1B. 2[Phi(0.5)+Phi(2.5)]C. Phi(0.5)+Phi(2.5)-1D. Phi(0.5)+1-Phi(2.5)

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的正态分布$X\sim N(3,4)$进行标准化，再根据绝对值不等式的性质将$P(|X|\gt{}2)$进行转化，最后利用标准正态分布的性质计算概率。

步骤一：对$X$进行标准化

已知$X\sim N(3,4)$，即$X$服从均值为$3$，方差为$4$的正态分布。根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差），可得$\sigma = \sqrt{4} = 2$，则$Z = \frac{X - 3}{2}\sim N(0,1)$。

步骤二：转化$P(|X|\gt{}2)$

根据绝对值不等式的性质$|X|\gt{}2$等价于$X \gt 2$或$X \lt -2$，所以$P(|X|\gt{}2)=P(X \gt 2)+P(X \lt -2)$。

步骤三：分别计算$P(X \gt 2)$和$P(X \lt -2)$

• 计算$P(X \gt 2)$：
  将$X = 2$代入标准化公式$Z = \frac{X - 3}{2}$，可得$Z_1 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，则$P(X \gt 2)=P\left(Z \gt \frac{2 - 3}{2}\right)=P(Z \gt -0.5)$。
  根据标准正态分布的性质$P(Z \gt -0.5)=1 - P(Z\leq -0.5)$，又因为标准正态分布的分布函数为$\varPhi(z)=P(Z\leq z)$，所以$P(Z \gt -0.5)=1 - \varPhi(-0.5)$。
  再根据标准正态分布的对称性$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，可得$\varPhi(-0.5)=1 - \varPhi(0.5)$，则$P(X \gt 2)=1 - (1 - \varPhi(0.5))=\varPhi(0.5)$。
• 计算$P(X \lt -2)$：
  将$X = -2$代入标准化公式$Z = \frac{X - 3}{2}$，可得$Z_2 = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$，则$P(X \lt -2)=P\left(Z \lt \frac{-2 - 3}{2}\right)=P(Z \lt -2.5)$。
  根据标准正态分布的对称性$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，可得$P(Z \lt -2.5)=\varPhi(-2.5)=1 - \varPhi(2.5)$。

步骤四：计算$P(|X|\gt{}2)$

将$P(X \gt 2)=\varPhi(0.5)$和$P(X \lt -2)=1 - \varPhi(2.5)$代入$P(|X|\gt{}2)=P(X \gt 2)+P(X \lt -2)$，可得$P(|X|\gt{}2)=\varPhi(0.5)+1 - \varPhi(2.5)$。