题目
下 式中恒成立的是 A D ( X - Y ) = D ( X ) + D ( Y ) B D ( X + a ) = D ( X ) + a C E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) D cov ( X , aX + b ) = aD ( X )
下 式中恒成立的是
A D ( X - Y ) = D ( X ) + D ( Y )
B D ( X + a ) = D ( X ) + a
C E ( XY ) = E ( X ) E ( Y )
D cov ( X , aX + b ) = aD ( X )
题目解答
答案
解：
A
当
时，A成立，故A错误
B
由
，可知D ( X + a ) = D ( X ) ，故B错误
C
当时，C成立，故C错误
D
由
可得
故D正确
故答案为：D
解析
步骤 1：分析选项 A
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$
当$Cov(X,Y) = 0$时，A成立，故A错误。
步骤 2：分析选项 B
由$D(aX+b) = a^2D(X)$，可知$D(X+a) = D(X)$，故B错误。
步骤 3：分析选项 C
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
当$Cov(X,Y) = 0$时，C成立，故C错误。
步骤 4：分析选项 D
$Cov(X,aX+b) = E(X(aX+b)) - E(X)E(aX+b)$
$= E(aX^2 + bX) - E(X)(aE(X) + b)$
$= aE(X^2) + bE(X) - aE(X)^2 - bE(X)$
$= a(E(X^2) - E(X)^2)$
$= aD(X)$
故D正确。
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)$
当$Cov(X,Y) = 0$时，A成立，故A错误。
步骤 2：分析选项 B
由$D(aX+b) = a^2D(X)$，可知$D(X+a) = D(X)$，故B错误。
步骤 3：分析选项 C
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
当$Cov(X,Y) = 0$时，C成立，故C错误。
步骤 4：分析选项 D
$Cov(X,aX+b) = E(X(aX+b)) - E(X)E(aX+b)$
$= E(aX^2 + bX) - E(X)(aE(X) + b)$
$= aE(X^2) + bE(X) - aE(X)^2 - bE(X)$
$= a(E(X^2) - E(X)^2)$
$= aD(X)$
故D正确。