单选题（共20题，50.0分）18.（2.5分）设向量组α_(1),α_(2),α_(3),α_(4)线性无关，又β_(1)=α_(1)+α_(2),β_(2)=α_(2)+α_(3),β_(3)=α_(3)+α_(4),β_(4)=α_(4)+α_(1)，则向量组β_(1),β_(2),β_(3),β_(4)（）.A. 秩为1B. 线性无关C. 秩为2D. 秩为3

本题考查向量组的线性相关性以及秩的概念。解题思路是通过向量组之间的线性关系来判断其秩。

设向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$构成，已知$\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$，$\beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}$，$\beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$，$\beta_{4}=\alpha_{4}+\alpha_{1}$。

我们可以尝试用$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}}$来表示$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$。

令$k_{1}=x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}$，$\beta_{2}=x_{3}\alpha_{2}+x_{4}\alpha_{3}$，$\beta_{3}=x_{5}\alpha_{3}+x_{6}\alpha_{4}$，$\beta_{4}=x_{7}\alpha_{4}+x_{8}\alpha_{1}$。

将$\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8$为常数))。

我们可以得到一个线性方程组：

$\begin{cases}x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}=\beta_{1}\\x_{3}\alpha_{2}+x_{4}\alpha_{3}=\beta_{2}\\x_{5}\alpha_{3}+x_{6}\alpha_{4}=\beta_{3}\\x_{7}\alpha_{4}+x_{8}\alpha_{1}=\beta_{4}\end{cases}$

通过对这个线性方程组进行求解，我们可以发现这个线性方程组的系数矩阵的秩为$3$。

根据向量组的秩的定义，向量组的秩等于其线性无关向量的个数，所以向量组$\(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$)的秩为$3$。