题目
1.[单选题][单选题]设n阶方阵A与B相似，则下列必成立的是（）。A. 当A^2是A与的特征值时，n元齐次线性方程组(lambda_(0)E-A)x=0与(lambda_(0)E-B)x=0同解B. 存在对角形矩阵A，使得A与B都相似于AC. 对于任意常数t，有|tE-A|=|tE-B|D. lambda E-A=lambda E-B其中lambda为A与B的特征值
1.[单选题][单选题]设n阶方阵A与B相似，则下列必成立的是（）。
A. 当$A^{2}$是A与 的特征值时，n元齐次线性方程组 $(\lambda_{0}E-A)x=0$与$(\lambda_{0}E-B)x=0$同解
B. 存在对角形矩阵A，使得$A与B$都相似于A
C. 对于任意常数t，有|tE-A|=|tE-B|
D. $\lambda E-A=\lambda E-B$其中$\lambda$为A与B的特征值
题目解答
答案
C. 对于任意常数t，有|tE-A|=|tE-B|
解析
步骤 1：分析选项A
当 $A^2$ 是 $A$ 的特征值时，n元齐次线性方程组 $(\lambda_0 E - A)x = 0$ 与 $(\lambda_0 E - B)x = 0$ 同解。相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征向量可能不同。因此，齐次线性方程组 $(\lambda_0 E - A)x = 0$ 和 $(\lambda_0 E - B)x = 0$ 的解集（即特征空间）不一定相同。
步骤 2：分析选项B
存在对角形矩阵 $D$，使得 $A$ 和 $B$ 都相似于 $D$。相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征向量可能不同。因此，它们不一定相似于同一个对角矩阵。
步骤 3：分析选项C
对于任意常数 $t$，有 $|tE - A| = |tE - B|$。相似矩阵有相同的特征多项式。矩阵 $A$ 的特征多项式由 $|tE - A|$ 给出，矩阵 $B$ 的特征多项式由 $|tE - B|$ 给出。由于 $A$ 和 $B$ 相似，它们有相同的特征多项式，因此对于任意常数 $t$，有 $|tE - A| = |tE - B|$。
步骤 4：分析选项D
$\lambda E - A = \lambda E - B$ 其中 $\lambda$ 为 $A$ 和 $B$ 的特征值。相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征值对应的特征向量可能不同。因此，矩阵 $\lambda E - A$ 和 $\lambda E - B$ 不一定相等。
当 $A^2$ 是 $A$ 的特征值时，n元齐次线性方程组 $(\lambda_0 E - A)x = 0$ 与 $(\lambda_0 E - B)x = 0$ 同解。相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征向量可能不同。因此，齐次线性方程组 $(\lambda_0 E - A)x = 0$ 和 $(\lambda_0 E - B)x = 0$ 的解集（即特征空间）不一定相同。
步骤 2：分析选项B
存在对角形矩阵 $D$，使得 $A$ 和 $B$ 都相似于 $D$。相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征向量可能不同。因此，它们不一定相似于同一个对角矩阵。
步骤 3：分析选项C
对于任意常数 $t$，有 $|tE - A| = |tE - B|$。相似矩阵有相同的特征多项式。矩阵 $A$ 的特征多项式由 $|tE - A|$ 给出，矩阵 $B$ 的特征多项式由 $|tE - B|$ 给出。由于 $A$ 和 $B$ 相似，它们有相同的特征多项式，因此对于任意常数 $t$，有 $|tE - A| = |tE - B|$。
步骤 4：分析选项D
$\lambda E - A = \lambda E - B$ 其中 $\lambda$ 为 $A$ 和 $B$ 的特征值。相似矩阵有相同的特征值，但它们的特征值对应的特征向量可能不同。因此，矩阵 $\lambda E - A$ 和 $\lambda E - B$ 不一定相等。