已知变量X-B(n,p),样本率(X/n)的数学期望和方差分别为A. np和np(1-p)B. np和p(1-p)/nC. p和np(1-p)D. p和p(1-p)/n

考查要点：本题主要考查二项分布的数学期望与方差的性质，以及如何将这些性质推广到样本率（即$\frac{X}{n}$）的计算上。

解题核心思路：

1. 回忆二项分布的基本性质：若随机变量$X \sim B(n,p)$，则$E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$。
2. 样本率的定义：样本率是$\frac{X}{n}$，需利用期望和方差的线性性质进行推导。
3. 关键公式应用：
   • 期望的线性性：$E(aX) = aE(X)$
   • 方差的线性性：$D(aX) = a^2D(X)$

破题关键：

• 正确代入系数：将$\frac{1}{n}$代入期望和方差的公式中，注意方差中的平方项。

步骤1：计算样本率的数学期望

根据二项分布的期望公式：
$E(X) = np$
样本率为$\frac{X}{n}$，因此其期望为：
$E\left(\frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n}E(X) = \frac{1}{n} \cdot np = p$

步骤2：计算样本率的方差

根据二项分布的方差公式：
$D(X) = np(1-p)$
样本率的方差为：
$D\left(\frac{X}{n}\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 D(X) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}$

结论：样本率的数学期望为$p$，方差为$\frac{p(1-p)}{n}$，对应选项D。