题目
设总体 X sim N(2, 4^2)，X_1, X_2, ..., X_n 为总体 X 的一个样本，则以下结果正确的是（）A. (overline(X)-2)/(4) sim N(0,1)B. (overline(X)-2)/(16) sim N(0,1)C. (overline(X)-2)/(2) sim N(0,1)D. (overline(X)-2)/(frac(4){sqrt(n))} sim N(0,1)
设总体 $X \sim N(2, 4^2)$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本，则以下结果正确的是（）
A. $\frac{\overline{X}-2}{4} \sim N(0,1)$
B. $\frac{\overline{X}-2}{16} \sim N(0,1)$
C. $\frac{\overline{X}-2}{2} \sim N(0,1)$
D. $\frac{\overline{X}-2}{\frac{4}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$
题目解答
答案
D. $\frac{\overline{X}-2}{\frac{4}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$
解析
步骤 1：确定总体参数
已知总体 $X \sim N(2, 4^2)$，即总体均值 $\mu = 2$，总体标准差 $\sigma = 4$。
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(2, \frac{16}{n}\right)$。
步骤 3：标准化样本均值
标准化公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{4 / \sqrt{n}} \]，其中 $Z \sim N(0,1)$。
步骤 4：验证选项
只有选项D符合该公式，其他选项均未包含样本量 $n$ 或分母错误。
已知总体 $X \sim N(2, 4^2)$，即总体均值 $\mu = 2$，总体标准差 $\sigma = 4$。
步骤 2：确定样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $N\left(2, \frac{16}{n}\right)$。
步骤 3：标准化样本均值
标准化公式为：\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\overline{X} - 2}{4 / \sqrt{n}} \]，其中 $Z \sim N(0,1)$。
步骤 4：验证选项
只有选项D符合该公式，其他选项均未包含样本量 $n$ 或分母错误。