设 X sim N(2,1)，Y sim N(-1,1)，且 X 与 Y 相互独立，令 Z = 3X - 2Y - 6，则 Z sim ( )。A. N(2,1)B. N(1,1)C. N(2,13)D. N(1,5)

考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质，特别是独立正态变量的线性组合的均值和方差的计算。

解题核心思路：

1. 正态分布的封闭性：独立正态变量的线性组合仍服从正态分布。
2. 均值的线性性质：线性组合的均值等于各变量均值的线性组合。
3. 方差的叠加性：独立变量的方差可直接相加，系数平方后乘以原方差。

破题关键点：

• 正确代入均值计算：注意系数符号对均值的影响。
• 独立变量方差叠加：忽略协方差项，仅计算各变量方差的加权和。

设 $X \sim N(2,1)$，$Y \sim N(-1,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，$Z = 3X - 2Y - 6$。

步骤1：计算均值 $E(Z)$

根据线性性质：
$\begin{aligned}E(Z) &= E(3X - 2Y - 6) \\&= 3E(X) - 2E(Y) - 6 \\&= 3 \times 2 - 2 \times (-1) - 6 \\&= 6 + 2 - 6 = 2.\end{aligned}$

步骤2：计算方差 $\text{Var}(Z)$

由于 $X$ 与 $Y$ 独立，协方差为0：
$\begin{aligned}\text{Var}(Z) &= \text{Var}(3X - 2Y - 6) \\&= 3^2 \text{Var}(X) + (-2)^2 \text{Var}(Y) + \text{Var}(-6) \\&= 9 \times 1 + 4 \times 1 + 0 \\&= 13.\end{aligned}$

结论：$Z \sim N(2, 13)$，对应选项 C。