题目
5.已知随机变量X与Y相互独立,且X~N(0,1),Y~B(10,0.2),则E(2X+3Y)=____，D(2X+3Y)=____.
5.已知随机变量X与Y相互独立,且X~N(0,1),Y~B(10,0.2),则
$E(2X+3Y)=$____，$D(2X+3Y)=$____.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用期望和方差的性质。具体来说，对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，期望和方差的性质如下：
1. $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$
2. $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$
已知 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim B(10,0.2)$，我们可以找到 $X$ 和 $Y$ 的期望和方差：
- 对于 $X \sim N(0,1)$：
- 期望 $E(X) = 0$
- 方差 $D(X) = 1$
- 对于 $Y \sim B(10,0.2)$：
- 期望 $E(Y) = 10 \cdot 0.2 = 2$
- 方差 $D(Y) = 10 \cdot 0.2 \cdot (1 - 0.2) = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 1.6$
现在，我们可以使用这些值来找到 $2X + 3Y$ 的期望和方差。
### 期望
使用期望的性质，我们有：
\[E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 6\]
### 方差
使用方差的性质，我们有：
\[D(2X + 3Y) = 2^2D(X) + 3^2D(Y) = 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1.6 = 4 + 14.4 = 18.4\]
因此，答案是：
\[E(2X + 3Y) = 6\]
\[D(2X + 3Y) = 18.4\]
将最终答案框起来，我们得到：
\[
\boxed{6, 18.4}
\]
解析
步骤 1：计算 $X$ 和 $Y$ 的期望和方差
- 对于 $X \sim N(0,1)$，期望 $E(X) = 0$，方差 $D(X) = 1$。
- 对于 $Y \sim B(10,0.2)$，期望 $E(Y) = 10 \cdot 0.2 = 2$，方差 $D(Y) = 10 \cdot 0.2 \cdot (1 - 0.2) = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 1.6$。
步骤 2：计算 $2X + 3Y$ 的期望
- 使用期望的性质 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，我们有 $E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 6$。
步骤 3：计算 $2X + 3Y$ 的方差
- 使用方差的性质 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$，我们有 $D(2X + 3Y) = 2^2D(X) + 3^2D(Y) = 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1.6 = 4 + 14.4 = 18.4$。
- 对于 $X \sim N(0,1)$，期望 $E(X) = 0$，方差 $D(X) = 1$。
- 对于 $Y \sim B(10,0.2)$，期望 $E(Y) = 10 \cdot 0.2 = 2$，方差 $D(Y) = 10 \cdot 0.2 \cdot (1 - 0.2) = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 1.6$。
步骤 2：计算 $2X + 3Y$ 的期望
- 使用期望的性质 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，我们有 $E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 6$。
步骤 3：计算 $2X + 3Y$ 的方差
- 使用方差的性质 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$，我们有 $D(2X + 3Y) = 2^2D(X) + 3^2D(Y) = 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1.6 = 4 + 14.4 = 18.4$。