题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，mu 未知时对 sigma^2 进行检验: H_0: sigma^2 = sigma_0^2; H_1: sigma^2 neq sigma_0^2 此时应选取统计量()A. U = (overline(X) - mu_0)/(sigma / sqrt(n))B. T = (overline(X) - mu_0)/(S / sqrt(n))C. chi^2 = (sum_(i=1)^n (X_i - mu_0)^2)/(sigma_0^2)D. chi^2 = ((n-1)S^2)/(sigma_0^2)
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 未知时对 $\sigma^2$ 进行检验: $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2; \quad H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$ 此时应选取统计量()
A. $U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
B. $T = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
C. $\chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2}{\sigma_0^2}$
D. $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
题目解答
答案
D. $\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
解析
步骤 1：确定检验类型
在总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 中，当 $\mu$ 未知时，对 $\sigma^2$ 进行检验，属于方差的假设检验问题。此时，检验统计量应基于样本方差 $S^2$。
步骤 2：选择合适的统计量
已知当 $\mu$ 未知时，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。在零假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ 下，代入 $\sigma^2 = \sigma_0^2$，得到统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$，服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
步骤 3：排除其他选项
选项 A 和 B 与均值检验相关，假设 $\mu$ 已知，不符合题意。选项 C 假设 $\mu$ 已知，也不符合题意。只有选项 D 符合方差检验的统计量形式。
在总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 中，当 $\mu$ 未知时，对 $\sigma^2$ 进行检验，属于方差的假设检验问题。此时，检验统计量应基于样本方差 $S^2$。
步骤 2：选择合适的统计量
已知当 $\mu$ 未知时，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。在零假设 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ 下，代入 $\sigma^2 = \sigma_0^2$，得到统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$，服从 $\chi^2(n-1)$ 分布。
步骤 3：排除其他选项
选项 A 和 B 与均值检验相关，假设 $\mu$ 已知，不符合题意。选项 C 假设 $\mu$ 已知，也不符合题意。只有选项 D 符合方差检验的统计量形式。