题目
若连续型随机变量X,Y的期望与方差均存在,且X,Y不相关。则下列选项不正确的是()A. f(xy)=fX(x)fY(y)B. E(XY)=E(X)E(Y)C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(X−Y)=D(X)+D(Y)
若连续型随机变量X,Y的期望与方差均存在,且X,Y不相关。则下列选项不正确的是()
A. f(xy)=fX(x)fY(y)
B. E(XY)=E(X)E(Y)
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D. D(X−Y)=D(X)+D(Y)
题目解答
答案
因为
解析
步骤 1：理解不相关与独立的关系
随机变量X和Y不相关意味着它们的协方差为0，即COV(X,Y) = 0。然而，不相关并不意味着X和Y是独立的。独立性是一个更强的条件，它要求联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积，即f(xy) = fX(x)fY(y)。因此，选项A不一定正确。
步骤 2：验证选项B
由于X和Y不相关，我们有COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0。因此，E(XY) = E(X)E(Y)，选项B是正确的。
步骤 3：验证选项C和D
对于方差，我们有D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2COV(X,Y)。由于X和Y不相关，COV(X,Y) = 0，所以D(X+Y) = D(X) + D(Y)。同样，D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2COV(X,Y) = D(X) + D(Y)。因此，选项C和D都是正确的。
随机变量X和Y不相关意味着它们的协方差为0，即COV(X,Y) = 0。然而，不相关并不意味着X和Y是独立的。独立性是一个更强的条件，它要求联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积，即f(xy) = fX(x)fY(y)。因此，选项A不一定正确。
步骤 2：验证选项B
由于X和Y不相关，我们有COV(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0。因此，E(XY) = E(X)E(Y)，选项B是正确的。
步骤 3：验证选项C和D
对于方差，我们有D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2COV(X,Y)。由于X和Y不相关，COV(X,Y) = 0，所以D(X+Y) = D(X) + D(Y)。同样，D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2COV(X,Y) = D(X) + D(Y)。因此，选项C和D都是正确的。