题目
在次品率为dfrac (1)(6)的一大批产品中，任意抽取 300 件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在 40 与 60 之间的概率.
在次品率为
的一大批产品中，任意抽取 300 件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在 40 与 60 之间的概率.
题目解答
答案
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本平均值的分布将接近正态分布。在这个问题中，我们关注的是次品的数量，这就是一个二项分布问题，可以用中心极限定理近似计算。
首先，我们需要计算二项分布的期望和方差。在这个问题中，试验次数（即产品数量）n=300，每次试验成功的概率（即产品是次品的概率）
。因此，期望
然后，我们使用中心极限定理计算40和60之间的概率。根据中心极限定理，次品的数量X将近似服从正态分布
。则，
，标准化后
. 其中
表示标准正态分布在
的概率。
故抽取的产品中次品件数在 40 与 60 之间的概率为
。
解析
步骤 1：计算期望和方差
在二项分布中，期望值 $t$ 和方差 ${v}^{2}$ 可以通过以下公式计算：
- 期望值 $t = np$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。
- 方差 ${v}^{2} = np(1-p)$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。
步骤 2：计算期望值
在这个问题中，试验次数 $n = 300$，每次试验成功的概率 $p = \dfrac {1}{6}$。因此，期望值 $t = np = 300 \times \dfrac {1}{6} = 50$。
步骤 3：计算方差
方差 ${v}^{2} = np(1-p) = 300 \times \dfrac {1}{6} \times \dfrac {5}{6} = \dfrac {125}{3}$。
步骤 4：计算概率
根据中心极限定理，次品的数量 $X$ 近似服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^{2})$。则，$P(40\leqslant X\leqslant 60)=P(|X-50|\leqslant 10)$，标准化后 $P(\dfrac {|x-50|}{\dfrac {5\sqrt {3}}{3}}\leqslant \dfrac {2\sqrt {15}}{3})=2\varphi (\dfrac {2\sqrt {15}}{3})-1$。其中 $\varphi (x)$ 表示标准正态分布在 $x\leqslant x$ 的概率。
在二项分布中，期望值 $t$ 和方差 ${v}^{2}$ 可以通过以下公式计算：
- 期望值 $t = np$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。
- 方差 ${v}^{2} = np(1-p)$，其中 $n$ 是试验次数，$p$ 是每次试验成功的概率。
步骤 2：计算期望值
在这个问题中，试验次数 $n = 300$，每次试验成功的概率 $p = \dfrac {1}{6}$。因此，期望值 $t = np = 300 \times \dfrac {1}{6} = 50$。
步骤 3：计算方差
方差 ${v}^{2} = np(1-p) = 300 \times \dfrac {1}{6} \times \dfrac {5}{6} = \dfrac {125}{3}$。
步骤 4：计算概率
根据中心极限定理，次品的数量 $X$ 近似服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^{2})$。则，$P(40\leqslant X\leqslant 60)=P(|X-50|\leqslant 10)$，标准化后 $P(\dfrac {|x-50|}{\dfrac {5\sqrt {3}}{3}}\leqslant \dfrac {2\sqrt {15}}{3})=2\varphi (\dfrac {2\sqrt {15}}{3})-1$。其中 $\varphi (x)$ 表示标准正态分布在 $x\leqslant x$ 的概率。