2.已知总体X的概率密度为-|||-(x,theta )= { ^-(theta +1),xgt C 0, .-|||-其中 gt 0 为已知, theta gt 1 为未知参数,(X1,X2,···,Xn)是来自总体-|||-X的样本,试求θ的矩估计量与最大似然估计量.

步骤 1：求解矩估计量
为了求解矩估计量，我们需要找到总体X的期望值E(X)。根据概率密度函数$f(x,\theta)$，我们有：
$$E(X) = \int_{C}^{\infty} x \cdot f(x,\theta) dx = \int_{C}^{\infty} x \cdot \theta C^{\theta} x^{-(\theta + 1)} dx$$
$$= \theta C^{\theta} \int_{C}^{\infty} x^{-(\theta)} dx$$
$$= \theta C^{\theta} \left[ \frac{x^{-(\theta - 1)}}{-(\theta - 1)} \right]_{C}^{\infty}$$
$$= \theta C^{\theta} \left[ \frac{C^{-(\theta - 1)}}{-(\theta - 1)} \right]$$
$$= \frac{\theta C}{\theta - 1}$$
因此，总体X的期望值E(X)为$\frac{\theta C}{\theta - 1}$。根据矩估计量的定义，我们有：
$$\hat{\theta} = \frac{\overline{X}}{X - C}$$
步骤 2：求解最大似然估计量
为了求解最大似然估计量，我们需要找到似然函数$L(\theta)$，然后求解其对$\theta$的导数，并令其等于0。根据概率密度函数$f(x,\theta)$，我们有：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i,\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta C^{\theta} x_i^{-(\theta + 1)}$$
$$= \theta^n C^{n\theta} \prod_{i=1}^{n} x_i^{-(\theta + 1)}$$
对$L(\theta)$取对数，得到对数似然函数$l(\theta)$：
$$l(\theta) = n \ln \theta + n\theta \ln C - (\theta + 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
对$l(\theta)$求导，得到：
$$\frac{d l(\theta)}{d \theta} = \frac{n}{\theta} + n \ln C - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
令$\frac{d l(\theta)}{d \theta} = 0$，得到：
$$\frac{n}{\theta} + n \ln C - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$$
$$\frac{n}{\theta} = \sum_{i=1}^{n} \ln x_i - n \ln C$$
$$\theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i - n \ln C}$$
因此，最大似然估计量为$\theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i - n \ln C}$。