某厂生产的某种型号的电池服从正态分布 N(mu, 5000)，现有一批这种电池，从生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取 26 只电池，测出其寿命的样本方差 S^2 = 9200，问：(1) 总体方差 sigma^2 的置信水平为 98% 的置信区间；(2) 在显著性水平 0.02 下，这批电池的寿命较以往是否有显著性变化（保留到小数点后第三位）（chi^2_(0.01)(25) = 44.314，chi^2_(0.99)(25) = 11.524）

本题主要考查正态总体方差的置信区间估计以及假设检验的知识。

（1）求总体方差 $\sigma^2$ 的置信水平为 98% 的置信区间

• 确定已知条件：
  • 样本容量 $n = 26$，样本方差 $S^2 = 9200$，显著性水平 $\alpha = 1 - 0.98 = 0.02$，自由度为 $n - 1 = 26 - 1 = 25$。
  • 已知 $\chi^2_{0.01}(25) = 44.314$，$\chi^2_{0.99}(25) = 11.524$。
• 确定置信区间公式：
  对于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，总体方差 $\sigma^2$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\left( \frac{(n - 1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n - 1)}, \frac{(n - 1)S^2}{\chi_{1 - \alpha/2}^2(n - 1)} \right)$。
• 代入数据计算：
  将 $n = 26$，$S^2 = 9200$，$\chi^2_{0.01}(25) = 44.314$，$\chi^2_{0.99}(25) = 11.524$ 代入公式可得：
  • 下限：$\frac{(n - 1)S^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n - 1)} = \frac{25\times9200}{44.314} \approx 5190.209$
  • 上限：$\frac{(n - 1)S^2}{\chi_{1 - \alpha/2}^2(n - 1)} = \frac{25\times9200}{11.524} \approx 19958.356$
    所以总体方差 $\sigma^2$ 的 98% 置信区间为 $(5190.209, 19958.356)$。

（2）在显著性水平 0.02 下，检验这批电池的寿命较以往是否有显著性变化

• 提出假设：
  • 原假设 $H_0: \sigma^2 = 5000$（表示这批电池寿命的波动性与以往没有变化）。
  • 备择假设 $H_1: \sigma^2 \neq 5000$（表示这批电池寿命的波动性与以往有变化）。
• 确定检验统计量：
  在 $H_0$ 成立的条件下，检验统计量为 $\chi^2 = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2}$，其中 $\sigma_0^2 = 5000$。
• 计算检验统计量的值：
  将 $n = 26$，$S^2 = 9200$，$\sigma_0^2 = 5000$ 代入检验统计量公式可得：
  $\chi^2 = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{25\times9200}{5000} = 46$
• 确定临界值和拒绝域：
  • 已知 $\chi^2_{0.01}(25) = 44.314$，$\chi^2_{0.99}(25) = 11.524$。
  • 对于双侧检验，拒绝域为 $\chi^2 < \chi_{1 - \alpha/2}^2(n - 1)$ 或 $\chi^2 > \chi_{\alpha/2}^2(n - 1)$，即 $\chi^2 < 11.524$ 或 $\chi^2 > 44.314$。
• 做出决策：
  由于计算得到的 $\chi^2 = 46 > 44.314$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设 $H_0$，认为这批电池的寿命较以往有显著性变化。